Objectif Général 2 — Suites et fonctions numériques. Suites arithmétiques, suites géométriques, limites et applications aux intérêts financiers.
Une suite numérique (u_n) est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ : à chaque entier n, elle associe un réel noté u_n (terme de rang n). Une suite peut être définie :
Pour étudier la monotonie de (u_n), on étudie le signe de u_{n+1} − u_n :
• Si u_{n+1} − u_n ≥ 0 pour tout n, la suite est croissante.
• Si u_{n+1} − u_n ≤ 0 pour tout n, la suite est décroissante.
Étudier la monotonie de u_n = 1/(n+1) pour n ∈ ℕ.
Pour tout n ∈ ℕ, (n+1)(n+2) > 0, donc u_{n+1} − u_n < 0 : la suite (u_n) est strictement décroissante.
(u_n) est arithmétique de raison r si pour tout n, u_{n+1} = u_n + r.
Terme général : u_n = u₀ + n×r. Somme des n+1 premiers termes : S = (n+1)×(u₀+u_n)/2.
u₀ = 5, r = 3. u_n = 5 + 3n, donc u₁₀ = 5 + 30 = 35.
Somme S = u₀ + u₁ + … + u₁₀ (11 termes) : S = 11×(5+35)/2 = 11×20 = 220.
(u_n) est géométrique de raison q (q ≠ 0) si pour tout n, u_{n+1} = q × u_n.
Terme général : u_n = u₀ × qⁿ. Somme des n+1 premiers termes (q ≠ 1) : S = u₀ × (1 − q^(n+1)) / (1 − q).
u₀ = 3, q = 2. u_n = 3×2ⁿ, donc u₅ = 3×32 = 96.
Somme des 6 premiers termes (n=0 à 5) : S = 3×(1−2⁶)/(1−2) = 3×(−63)/(−1) = 189.
(u_n) converge vers un réel L si u_n se rapproche indéfiniment de L quand n tend vers +∞ : on note lim(n→+∞) u_n = L. Sinon, la suite diverge (vers +∞, vers −∞, ou n'admet aucune limite).
lim(n→+∞) 1/n = 0 ; lim(n→+∞) n² = +∞.
Pour une suite géométrique (u_n) de premier terme u₀ ≠ 0 et de raison q :
u_n = 5×(0,5)ⁿ : comme −1 < 0,5 < 1, (u_n) converge vers 0.
v_n = 2×3ⁿ : comme 3 > 1 et v₀ = 2 > 0, (v_n) diverge vers +∞.
Un capital C₀ placé à intérêt simple au taux t par période génère, après n périodes, un capital C_n = C₀(1 + n×t). La suite (C_n) est arithmétique de raison r = C₀×t.
Un capital C₀ placé à intérêt composé au taux t par période génère, après n périodes, un capital C_n = C₀×(1 + t)ⁿ. La suite (C_n) est géométrique de raison q = 1 + t.
C₀ = 100 000 FCFA placé à 5 % par an, à intérêt composé. Capital après 3 ans :
Soit (u_n) la suite arithmétique de premier terme u₀ = 7 et de raison r = −2.
Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u₀ = 4 et de raison q = 3.
Soit u_n = (2n−1)/(n+1) pour n ∈ ℕ. Montrer que u_n = 2 − 3/(n+1), étudier la monotonie de (u_n) et donner sa limite quand n→+∞.
u_{n+1} − u_n = [2 − 3/(n+2)] − [2 − 3/(n+1)] = 3/(n+1) − 3/(n+2) = 3/[(n+1)(n+2)] > 0 pour tout n ∈ ℕ.
La suite (u_n) est donc strictement croissante. Comme 3/(n+1) → 0 quand n→+∞, on a lim u_n = 2 : la suite converge vers 2 (elle est croissante et majorée par 2).
Un capital C₀ = 500 000 FCFA est placé à intérêt simple au taux annuel de 6 %. Exprimer C_n en fonction de n, préciser la nature de la suite (C_n), puis calculer le capital après 4 ans.
C_n = C₀(1 + n×t) = 500 000(1 + 0,06n) = 500 000 + 30 000n.
(C_n) est une suite arithmétique de premier terme 500 000 et de raison r = 30 000.
C₄ = 500 000 + 4×30 000 = 500 000 + 120 000 = 620 000 FCFA.
Un capital C₀ = 200 000 FCFA est placé à intérêt composé au taux annuel de 8 %.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ = 2 et de raison r = 5, u_n vaut :
Pour une suite géométrique de premier terme u₀ = 3 et de raison q = 2, u₃ vaut :
Une suite (u_n) est croissante si pour tout n :
Pour une suite géométrique de raison q avec −1 < q < 1 (u₀≠0), la limite de u_n quand n→+∞ est :
La somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par :
La somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 est donnée par :
Un capital placé à intérêt composé suit une suite :
Un capital placé à intérêt simple suit une suite :
La suite u_n = (−1)ⁿ pour n ∈ ℕ est-elle convergente ?
Si q > 1 et u₀ > 0, la suite géométrique (u_n) :
