Objectif Général 2 — Suites et fonctions numériques. Fonctions homographiques, fonction exponentielle, fonction logarithme népérien et applications économiques.
Une fonction homographique est une fonction de la forme f(x) = (ax+b)/(cx+d), où a, b, c, d sont des réels avec c ≠ 0 et ad − bc ≠ 0. Son ensemble de définition est ℝ \ {−d/c}.
La courbe représentative de f admet deux asymptotes : une asymptote verticale d'équation x = −d/c, et une asymptote horizontale d'équation y = a/c (limite de f en +∞ et en −∞).
En écrivant f(x) = a/c + k/(cx+d), on montre que f est strictement monotone (croissante si ad−bc > 0, décroissante si ad−bc < 0) sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Soit f(x) = (2x+1)/(x−3). Ici a=2, b=1, c=1, d=−3, donc ad−bc = 2×(−3) − 1×1 = −7 ≠ 0 : f est bien homographique, définie sur ℝ \ {3}.
Asymptote verticale : x = 3. Asymptote horizontale : y = 2. Comme ad−bc = −7 < 0, f est strictement décroissante sur ]−∞;3[ et sur ]3;+∞[.
La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ eˣ, est l'unique fonction dérivable sur ℝ égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 : exp' = exp et exp(0) = 1. On note e = exp(1) ≈ 2,718.
Pour tout x ∈ ℝ, exp(x) > 0. La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Limites : lim(x→−∞) eˣ = 0 et lim(x→+∞) eˣ = +∞.
Règles de calcul, pour tous réels a, b et tout entier n : e^(a+b) = eᵃ×eᵇ ; e^(a−b) = eᵃ/eᵇ ; e^(−a) = 1/eᵃ ; (eᵃ)ⁿ = e^(na).
Résoudre dans ℝ l'équation e^(2x−1) = e^(x+3). La fonction exponentielle étant strictement croissante, elle est injective, donc :
L'ensemble des solutions est S = {4}.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : pour x > 0, ln(x) est l'unique réel y tel que eʸ = x. Elle est définie sur ]0;+∞[, avec ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
ln est dérivable sur ]0;+∞[, de dérivée ln'(x) = 1/x, donc strictement croissante sur cet intervalle. Limites : lim(x→0⁺) ln(x) = −∞ et lim(x→+∞) ln(x) = +∞.
Règles de calcul, pour tous réels a, b > 0 et tout entier n : ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ; ln(aⁿ) = n×ln(a) ; ln(1/a) = −ln(a).
Résoudre dans ℝ l'équation ln(x+2) = ln(3), sous la condition x+2 > 0 (soit x > −2).
Comme 1 > −2, la condition est vérifiée : S = {1}.
Une grandeur économique (chiffre d'affaires, population de clients, etc.) évoluant à taux de croissance constant continu k se modélise par f(t) = A × e^(kt), où A = f(0) est la valeur initiale et t le temps écoulé.
Le chiffre d'affaires d'une entreprise est modélisé par CA(t) = 1000 × e^(0,05t) (en millions de FCFA), t en années à partir de 2020. Calculer CA(5).
Soit f(x) = (3x−2)/(x+1).
Résoudre dans ℝ l'équation e^(2x−1) = e^(x+5).
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur ℝ, elle est injective, donc l'équation équivaut à :
L'ensemble des solutions est S = {6}.
Résoudre dans ℝ l'équation ln(x−1) + ln(x+1) = ln(8), en précisant le domaine de validité.
Domaine : il faut x−1 > 0 et x+1 > 0, soit x > 1.
Sur ce domaine, ln(x−1) + ln(x+1) = ln[(x−1)(x+1)] = ln(x²−1). L'équation devient :
Seule x = 3 vérifie x > 1 (x = −3 est rejetée). L'ensemble des solutions est S = {3}.
Résoudre dans ℝ l'inéquation e^(3x−2) ≤ e^(x+4).
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur ℝ, elle conserve le sens des inégalités :
L'ensemble des solutions est S = ]−∞;3].
Le chiffre d'affaires d'une entreprise est modélisé par CA(t) = 50 × e^(0,08t) (en millions de FCFA), où t est le nombre d'années écoulées depuis 2020.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le domaine de définition de f(x) = (2x+5)/(x−4) est :
Pour f(x) = (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0, l'asymptote horizontale a pour équation :
exp(0) est égal à :
Pour tous réels a et b, e^(a+b) est égal à :
La fonction exponentielle est :
ln(1) est égal à :
Pour tous réels a, b > 0, ln(a×b) est égal à :
La dérivée de la fonction ln sur ]0;+∞[ est :
L'équation eˣ = 5 a pour solution :
lim(x→0⁺) ln(x) est égale à :
