Objectif Général 3 — Algèbre linéaire et dénombrement. Structure d'espace vectoriel de R², sous-espaces vectoriels, applications linéaires, noyau, image et théorème du rang.
Un vecteur de R² est un couple de réels (x, y). L'ensemble R² est muni de deux opérations : l'addition vectorielle (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′), et la multiplication par un scalaire k · (x, y) = (kx, ky), pour k ∈ R. Muni de ces deux opérations, R² est un espace vectoriel.
Les vecteurs i = (1, 0) et j = (0, 1) forment la base canonique de R² : tout vecteur (x, y) s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire (x, y) = x·i + y·j. On dit que R² est de dimension 2.
Soient u = (2, −1) et v = (1, 3). Calculons w = 3u − 2v.
3u = (6, −3) et 2v = (2, 6), donc w = 3u − 2v = (6 − 2, −3 − 6) = (4, −9).
Une partie F de R² est un sous-espace vectoriel (sev) de R² si : (1) F contient le vecteur nul (0, 0) ; (2) F est stable par addition (la somme de deux vecteurs de F reste dans F) ; (3) F est stable par multiplication scalaire (tout multiple d'un vecteur de F reste dans F).
Les seuls sous-espaces vectoriels de R² sont : {(0,0)} (dimension 0), les droites vectorielles passant par l'origine (dimension 1), et R² tout entier (dimension 2).
F = {(x, y) : y = 2x} est un sev de R² : il contient (0,0) (car 0 = 2×0), il est stable par addition et par multiplication scalaire. C'est la droite vectorielle dirigée par (1, 2).
G = {(x, y) : y = 2x + 1} n'est pas un sev de R² : il ne contient pas (0, 0) car 0 ≠ 2×0 + 1. C'est une droite affine, pas une droite vectorielle.
Une application f : R² → R² est linéaire si, pour tous vecteurs u, v de R² et tous scalaires a, b : f(au + bv) = a·f(u) + b·f(v). Une telle application s'écrit toujours f(x, y) = (αx + βy, γx + δy) et se représente par une matrice.
Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs de la base canonique : f(1, 0) et f(0, 1). Pour tout vecteur (x, y) = x·i + y·j, on a f(x, y) = x·f(1, 0) + y·f(0, 1).
Soit f(x, y) = (2x + y, x − y). On a f(1, 0) = (2, 1) et f(0, 1) = (1, −1).
Image de u = (3, 2) par combinaison : f(3,2) = 3·f(1,0) + 2·f(0,1) = 3(2,1) + 2(1,−1) = (6,3) + (2,−2) = (8, 1). On retrouve directement f(3,2) = (2×3+2, 3−2) = (8, 1). ✓
Le noyau de f est l'ensemble Ker f = {u ∈ R² : f(u) = (0, 0)}. C'est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ.
L'image de f est l'ensemble Im f = {f(u) : u ∈ R²} des vecteurs effectivement atteints. C'est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée.
Pour toute application linéaire f : R² → R² : dim(Ker f) + dim(Im f) = dim(R²) = 2
f est injective si et seulement si Ker f = {(0,0)}. Si de plus dim(Im f) = 2, alors Im f = R² et f est bijective.
f(x,y) = (2x+y, x−y) : Ker f se trouve en résolvant 2x+y=0 et x−y=0, ce qui donne x=y et 2x+x=0 donc x=0, y=0. Ker f = {(0,0)} : f est injective, donc dim(Im f) = 2 − 0 = 2 : f est bijective.
g(x,y) = (x+y, 2x+2y) : Ker g se trouve en résolvant x+y=0, soit y=−x. Ker g = {(t, −t) : t ∈ R}, une droite, donc dim(Ker g) = 1. Comme g(x,y) = (x+y)·(1,2), on a Im g = vect{(1,2)}, donc dim(Im g) = 1. Vérification du théorème du rang : 1 + 1 = 2. ✓
Soient u = (3, −2) et v = (−1, 4) deux vecteurs de R².
On considère F₁ = {(x, y) : y = 3x} et F₂ = {(x, y) : x + y = 1}.
Soit f(x, y) = (3x − 2y, x + 4y).
Soit h(x, y) = (x − 2y, −3x + 6y).
On considère f(x, y) = (2x + y, x − y) de matrice A = [[2, 1], [1, −1]], et g(x, y) = (x + y, 2x + 2y) de matrice B = [[1, 1], [2, 2]] (étudiée dans le cours).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'espace vectoriel R² est muni de l'addition vectorielle et de :
La dimension de l'espace vectoriel R² est :
Un sous-espace vectoriel de R² doit obligatoirement contenir :
L'ensemble F = {(x,y) : y = 2x + 1} est-il un sous-espace vectoriel de R² ?
f : R² → R² est linéaire si pour tous u, v et scalaires a, b :
Le noyau Ker f d'une application linéaire f est :
D'après le théorème du rang, pour f : R² → R², on a toujours :
f est injective si et seulement si :
Soit g(x,y) = (x+y, 2x+2y). Son noyau Ker g est :
Pour f(x,y) = (2x+y, x−y), l'image du vecteur u = (3,2) est :
