Objectif Général 3 — Algèbre linéaire et dénombrement. Principes additif et multiplicatif, permutations, arrangements et combinaisons.
• Principe additif : si une situation offre le choix entre deux possibilités qui s'excluent mutuellement, l'une réalisable de p₁ façons et l'autre de p₂ façons, le nombre total de façons est p₁ + p₂.
• Principe multiplicatif : si une situation se décompose en k étapes successives et indépendantes offrant respectivement n₁, n₂, …, nₖ possibilités, le nombre total de façons de réaliser la situation complète est n₁ × n₂ × … × nₖ.
Un client d'un restaurant choisit soit une entrée parmi 4, soit une salade parmi 3 (choix exclusif) : principe additif, 4 + 3 = 7 possibilités pour commencer.
Puis, pour composer un menu complet, il choisit une entrée (5 choix), puis un plat (4 choix), puis un dessert (3 choix) : principe multiplicatif, 5 × 4 × 3 = 60 menus possibles.
Pour tout entier naturel n ≥ 1, la factorielle de n est n! = n × (n−1) × … × 2 × 1, avec par convention 0! = 1. Le nombre de façons d'ordonner (permuter) n objets distincts est égal à n!.
Un commerçant doit disposer 5 produits différents, en ligne, dans une vitrine. Le nombre de dispositions possibles est 5! = 5×4×3×2×1 = 120.
Un arrangement de p éléments choisis parmi n (p ≤ n), où l'ordre compte et sans répétition, se note A(n, p) et vaut :
On souhaite attribuer 3 postes différents (directeur, secrétaire, caissier) parmi 8 candidats. Comme les postes sont distincts, l'ordre d'attribution compte : A(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336 répartitions possibles.
Une combinaison de p éléments choisis parmi n (p ≤ n), où l'ordre ne compte pas, se note C(n, p) et vaut :
Une entreprise doit choisir 3 représentants parmi 10 employés pour un salon commercial (les 3 postes sont équivalents, l'ordre est indifférent) :
Un jury de 4 personnes, sans rôle distinct, doit être formé parmi 12 candidats.
Un code d'accès à un coffre est composé de 4 chiffres distincts pris parmi les 10 chiffres 0 à 9, l'ordre étant important.
Une entreprise dispose de 8 hommes et 6 femmes (14 personnes au total) pour constituer une équipe commerciale de 5 personnes.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le principe multiplicatif s'applique lorsqu'une situation se décompose en étapes :
0! est égal à :
Le nombre de permutations de 4 objets distincts est :
La formule de l'arrangement A(n, p) est :
La formule de la combinaison C(n, p) est :
Dans un arrangement, contrairement à une combinaison :
A(6, 2) est égal à :
C(6, 2) est égal à :
Pour choisir 2 délégués parmi 5 élèves (rôles identiques, ordre indifférent), on utilise :
Pour choisir un président ET un secrétaire (rôles distincts) parmi 5 candidats, on utilise :
