Objectif Général 3 — Algèbre linéaire et dénombrement. Vocabulaire des probabilités, probabilités conditionnelles, indépendance, variables aléatoires discrètes.
• Univers Ω : ensemble de toutes les issues (résultats) possibles d'une expérience aléatoire.
• Événement : sous-ensemble de l'univers Ω. Un événement élémentaire est un singleton {x}, x ∈ Ω.
• Événement certain : Ω lui-même (probabilité 1). Événement impossible : l'ensemble vide ∅ (probabilité 0).
• Événement contraire de A, noté Ā : événement formé des issues de Ω qui n'appartiennent pas à A.
• Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si A ∩ B = ∅ : ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.
On lance un dé cubique équilibré. L'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L'événement A « obtenir un nombre pair » est A = {2, 4, 6}. Son contraire Ā = « obtenir un nombre impair » = {1, 3, 5}. L'événement B = « obtenir 6 » = {6} est un événement élémentaire.
Une probabilité sur Ω est une fonction P qui, à chaque événement A, associe un nombre réel P(A) tel que 0 ≤ P(A) ≤ 1, avec P(Ω) = 1 et P(∅) = 0.
Lorsque toutes les issues élémentaires de Ω ont la même probabilité (situation d'équiprobabilité), la probabilité d'un événement A est :
Pour le dé équilibré précédent, card(Ω) = 6. L'événement A = {2,4,6} a card(A) = 3, donc P(A) = 3/6 = 1/2.
Pour deux événements A et B quelconques d'un même univers Ω :
Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), cette formule se simplifie : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Pour l'événement contraire : P(Ā) = 1 − P(A).
Dans une classe de 25 élèves, 15 étudient l'anglais (A), 10 étudient l'espagnol (E), et 4 étudient les deux langues. On choisit un élève au hasard.
P(A) = 15/25 = 0,6 ; P(E) = 10/25 = 0,4 ; P(A∩E) = 4/25 = 0,16.
La probabilité qu'il étudie au moins une des deux langues est P(A∪E) = 0,6 + 0,4 − 0,16 = 0,84.
Soit B un événement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de A sachant B est :
Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre, ce qui équivaut à :
ce qui revient aussi à dire que P(A|B) = P(A) (lorsque P(B) ≠ 0).
Dans un salon commercial, 200 visiteurs sont classés selon le sexe et l'intention d'achat :
| Achète | N'achète pas | Total | |
|---|---|---|---|
| Homme | 50 | 70 | 120 |
| Femme | 40 | 40 | 80 |
| Total | 90 | 110 | 200 |
La probabilité qu'un visiteur achète sachant que c'est une femme est P(Achète|Femme) = 40/80 = 0,5. Comme P(Achète) = 90/200 = 0,45 ≠ 0,5, les événements « Achète » et « Femme » ne sont pas indépendants.
Une variable aléatoire X définie sur Ω est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de Ω. Si X ne prend qu'un nombre fini de valeurs x₁, x₂, …, xₙ, on dit que X est discrète.
La loi de probabilité de X est le tableau donnant, pour chaque valeur xᵢ, la probabilité P(X = xᵢ), avec Σ P(X = xᵢ) = 1.
L'espérance mathématique de X, notée E(X), est la moyenne des valeurs de X pondérée par leurs probabilités :
Un jeu consiste à lancer un dé équilibré. Si l'on obtient 6, le joueur gagne 600 FCFA ; s'il obtient 2 ou 4, il gagne 100 FCFA ; sinon (1, 3 ou 5), il perd 50 FCFA. Soit X le gain algébrique du joueur.
| xᵢ (gain) | 600 | 100 | −50 |
|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 1/6 | 2/6 | 3/6 |
E(X) = 600×(1/6) + 100×(2/6) + (−50)×(3/6) = 100 + 33,33 − 25 = 108,33 FCFA : en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur gagne environ 108,33 FCFA par partie.
On lance un dé cubique équilibré à 6 faces. Soit A l'événement « obtenir un nombre pair » et B l'événement « obtenir un multiple de 3 ».
Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent le football (F), 12 pratiquent le basketball (B), et 6 pratiquent les deux sports. On choisit un élève au hasard.
Une entreprise emploie 200 salariés répartis ainsi :
| Cadre | Non-cadre | Total | |
|---|---|---|---|
| Homme | 40 | 80 | 120 |
| Femme | 30 | 50 | 80 |
| Total | 70 | 130 | 200 |
On choisit un salarié au hasard.
On reprend le tableau de l'exercice 3 (entreprise de 200 salariés). Les événements « être cadre » et « être une femme » sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.
Il faut comparer P(Cadre∩Femme) et P(Cadre) × P(Femme).
P(Cadre∩Femme) = 30/200 = 0,15
P(Cadre) × P(Femme) = 0,35 × 0,4 = 0,14
Comme 0,15 ≠ 0,14, les événements « Cadre » et « Femme » ne sont pas indépendants.
Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 7 rouges et 5 vertes. On tire simultanément 3 boules.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire s'appelle :
Pour tout événement A, P(A) est toujours compris entre :
Si A et B sont deux événements incompatibles, alors P(A ∪ B) est égal à :
Pour deux événements A et B quelconques, la formule générale de P(A ∪ B) est :
L'événement contraire Ā d'un événement A vérifie :
La probabilité conditionnelle de A sachant B (avec P(B) ≠ 0) est définie par :
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est donnée par :
Si Ω = {1, 2, …, 10} (équiprobabilité) et A = « obtenir un multiple de 3 », alors P(A) est égale à :
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x₁,…,xₙ avec les probabilités p₁,…,pₙ est donnée par :
