Objectif Général 2 — Trigonométrie et géométrie plane. Mesures d'angles orientés, cercle trigonométrique, relations de Chasles et lignes trigonométriques remarquables.
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). Une mesure en radian correspond à la longueur de l'arc parcouru sur ce cercle.
À tout couple de vecteurs non nuls (u⃗, v⃗), on associe une mesure d'angle orienté (u⃗, v⃗). Toutes les mesures de cet angle diffèrent d'un multiple de 2π : elles s'écrivent θ + 2kπ, k ∈ ℤ. La mesure principale est l'unique mesure appartenant à ]−π ; π].
Conversions : 45° = π/4 ; 120° = 2π/3 ; 270° = 3π/2.
Mesure principale de 11π/3 : 11π/3 − 2π = 5π/3 (encore > π) ; 5π/3 − 2π = −π/3, qui appartient à ]−π ; π].
Relation de Chasles : (u⃗, w⃗) = (u⃗, v⃗) + (v⃗, w⃗) [2π]
(v⃗, u⃗) = −(u⃗, v⃗) [2π] · (−u⃗, v⃗) = (u⃗, v⃗) + π [2π] · (−u⃗, −v⃗) = (u⃗, v⃗) [2π]
Si (u⃗, v⃗) = π/3 [2π] et (v⃗, w⃗) = π/4 [2π], alors par Chasles : (u⃗, w⃗) = π/3 + π/4 = 4π/12 + 3π/12 = 7π/12 [2π].
| Angle | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | indéfinie |
cos(−x) = cos x · sin(−x) = −sin x · cos(π−x) = −cos x · sin(π−x) = sin x
cos(π+x) = −cos x · sin(π+x) = −sin x · cos(π/2−x) = sin x · sin(π/2−x) = cos x
cos(2π/3) = cos(π−π/3) = −cos(π/3) = −1/2.
sin(5π/6) = sin(π−π/6) = sin(π/6) = 1/2.
Convertir en radians : 60°, 150°, 300°. Convertir en degrés : π/2, 5π/6.
60° = π/3 ; 150° = 5π/6 ; 300° = 5π/3.
π/2 = 90° ; 5π/6 = 150°.
Déterminer la mesure principale des angles de mesures 17π/4 et −9π/2.
17π/4 − 2×2π = 17π/4 − 16π/4 = π/4 (appartient à ]−π;π]).
−9π/2 + 2×2π = −9π/2 + 8π/2 = −π/2 (appartient à ]−π;π]).
On donne (u⃗,v⃗) = π/3 [2π] et (v⃗,w⃗) = π/4 [2π]. Calculer (u⃗,w⃗).
D'après la relation de Chasles : (u⃗,w⃗) = (u⃗,v⃗) + (v⃗,w⃗) = π/3 + π/4 = 4π/12 + 3π/12 = 7π/12 [2π].
Calculer cos(7π/6) et sin(7π/6) à l'aide des formules de réduction.
7π/6 = π + π/6. Or cos(π+x) = −cos x, donc cos(7π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.
sin(π+x) = −sin x, donc sin(7π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
Résoudre dans [0 ; 2π[ :
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
180° en radians est égal à :
La mesure principale d'un angle orienté appartient à :
La relation de Chasles pour les angles orientés s'écrit :
cos(π/3) est égal à :
sin(π/2) est égal à :
cos(−x) est égal à :
sin(π−x) est égal à :
La mesure principale de 9π/4 est :
tan(π/4) est égal à :
La relation entre (u⃗,v⃗) et (v⃗,u⃗) est :
