Objectif Général 2 — Trigonométrie et géométrie plane. Théorème d'Al-Kashi, formule des sinus, aires et applications au triangle quelconque.
Dans un triangle ABC quelconque, on note a = BC, b = CA, c = AB les longueurs des côtés, respectivement opposés aux angles A, B, C. Alors :
Si A = 90°, alors cos A = 0 et la formule se réduit à a² = b² + c² : on retrouve le théorème de Pythagore. Le théorème d'Al-Kashi généralise donc Pythagore à un triangle quelconque.
Si l'angle A est obtus, cos A < 0, donc −2bc·cos A > 0 : le côté a est alors plus grand que dans le cas rectangle.
Calcul d'un côté : soit un triangle avec b = 8 cm, c = 5 cm et A = 60°. cos 60° = 1/2, donc a² = 8² + 5² − 2×8×5×(1/2) = 64 + 25 − 40 = 49, d'où a = 7 cm.
Calcul d'un angle (réciproque) : avec a = 7, b = 8, c = 5, on isole cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (64 + 25 − 49)/80 = 40/80 = 0,5, d'où A = 60°. On retrouve bien le triangle précédent.
Dans un triangle ABC, en notant R le rayon du cercle circonscrit :
Triangle ABC rectangle en C, avec A = 30° et a = BC = 6 cm. Comme C = 90°, sin C = 1, donc 2R = a/sin A = 6/0,5 = 12, soit R = 6 cm.
Le côté c = AB s'obtient par c = 2R·sin C = 12×1 = 12 cm. Comme A + B + C = 180°, B = 60°, donc b = CA = 2R·sin B = 12×(√3/2) = 6√3 cm ≈ 10,39 cm. On retrouve les proportions classiques du triangle 30°-60°-90° : les côtés sont dans le rapport 1 : √3 : 2.
Aire à partir de deux côtés et de l'angle compris : S = (1/2)·a·b·sin C = (1/2)·b·c·sin A = (1/2)·a·c·sin B
Formule de Héron, avec p = (a+b+c)/2 le demi-périmètre : S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))
Reprenons le triangle a = 7, b = 8, c = 5, A = 60° (côté 1). Aire = (1/2)·b·c·sin A = (1/2)×8×5×sin 60° = 20×(√3/2) = 10√3 cm² ≈ 17,3 cm².
Vérification par Héron : p = (7+8+5)/2 = 10. S = √(10×3×2×5) = √300 = 10√3 cm². Les deux méthodes donnent le même résultat.
Dans un triangle ABC, on donne b = 5 cm, c = 3 cm et A = 120°. Calculer a.
D'après Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc·cos A = 5² + 3² − 2×5×3×cos 120°.
cos 120° = −1/2, donc a² = 25 + 9 − 30×(−0,5) = 34 + 15 = 49, d'où a = 7 cm.
ABC est rectangle en C. On donne A = 30° et a = BC = 6 cm. Calculer c = AB puis b = CA.
Comme C = 90°, la loi des sinus donne a/sin A = c/sin C, soit c = a×sin C/sin A = 6×1/0,5 = 12 cm.
B = 180° − 90° − 30° = 60°. b = a×sin B/sin A = 6×(√3/2)/0,5 = 6√3 ≈ 10,39 cm.
Un triangle a pour côtés a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm. Calculer son aire à l'aide de la formule de Héron.
Demi-périmètre : p = (13+14+15)/2 = 21.
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = √(21×8×7×6) = √7056 = 84 cm².
Un triangle a pour côtés a = 5, b = 6, c = 7. Calculer, à 0,1° près, la mesure de l'angle A (opposé au côté a).
D'après Al-Kashi : cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (36 + 49 − 25)/(2×6×7) = 60/84 = 5/7 ≈ 0,7143.
A = arccos(5/7) ≈ 44,4° (à l'aide de la calculatrice).
Pour mesurer la distance entre deux points A et B séparés par un obstacle, un technicien choisit un point C tel que AC = 150 m, BC = 200 m et l'angle ACB = 70°.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le théorème d'Al-Kashi s'écrit, pour le côté a opposé à l'angle A :
Avec b = 8, c = 5 et A = 60°, la valeur de a est :
Lorsque A = 90°, le théorème d'Al-Kashi se réduit à :
La loi des sinus s'écrit :
Si a = 5 cm et A = 30°, le diamètre 2R du cercle circonscrit vaut :
L'aire d'un triangle à partir de deux côtés b, c et de l'angle A compris entre eux est :
Avec b = 8 cm, c = 5 cm et A = 60° (exemple du cours), l'aire du triangle vaut environ :
Dans la formule de Héron, le demi-périmètre p est égal à :
Pour un triangle de côtés a = 13, b = 14, c = 15, l'aire donnée par la formule de Héron est :
Si le cosinus d'un angle calculé par Al-Kashi est négatif, cet angle est :
