Objectif Général 2 — Trigonométrie et géométrie plane. Étude et tracé des fonctions trigonométriques, périodicité, symétries, amplitude et phase.
Périodicité : sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x pour tout x (période 2π) ; tan(x + π) = tan x pour tout x du domaine (période π).
Parité : sin(−x) = −sin x (fonction impaire) ; cos(−x) = cos x (fonction paire) ; tan(−x) = −tan x (fonction impaire).
La courbe de cos est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire) ; celle de sin est symétrique par rapport à l'origine O (fonction impaire). Grâce à la période 2π, il suffit d'étudier une fonction sur un intervalle de longueur 2π, puis de répéter le motif obtenu par translation sur tout ℝ.
f(x) = sin x étant impaire et 2π-périodique, on l'étudie sur [0 ; π], on complète par symétrie par rapport à O sur [−π ; 0], puis on répète le motif obtenu sur ℝ tous les 2π.
| x | −π/2 | 0 | π/2 | π | 3π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| sin x | −1 | 0 | 1 | 0 | −1 |
| cos x | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
sin croît sur [−π/2 + 2kπ ; π/2 + 2kπ] et décroît sur [π/2 + 2kπ ; 3π/2 + 2kπ], k ∈ ℤ.
cos croît sur [−π + 2kπ ; 2kπ] et décroît sur [2kπ ; π + 2kπ], k ∈ ℤ.
Comparer sin(2) et sin(3) sans calculatrice : π/2 ≈ 1,57 et 3π/2 ≈ 4,71, donc 2 et 3 appartiennent tous deux à l'intervalle [π/2 ; 3π/2] où sin est décroissante. Comme 2 < 3, on en déduit sin(2) > sin(3).
tan x = sin x / cos x, définie pour tout x tel que cos x ≠ 0, c'est-à-dire pour x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ. La fonction tan est impaire et π-périodique.
Les droites d'équation x = π/2 + kπ sont des asymptotes verticales à la courbe de tan. Sur ]−π/2 ; π/2[, tan est strictement croissante, de −∞ à +∞.
tan(π/4) = sin(π/4)/cos(π/4) = (√2/2)/(√2/2) = 1. tan(π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3.
tan(2π/3) = tan(π − π/3) = −tan(π/3) = −√3 (formule de réduction tan(π−x) = −tan x).
Pour f(x) = A·sin(ωx + φ) + k avec A > 0 et ω > 0 : A est l'amplitude, T = 2π/ω est la période, φ est la phase à l'origine, k est le décalage vertical. La courbe oscille entre k − A et k + A, autour de l'axe y = k.
f(x) = 3sin(2x − π/3) + 1 : amplitude A = 3, période T = 2π/2 = π, valeur maximale k + A = 1 + 3 = 4, valeur minimale k − A = 1 − 3 = −2. Le maximum est atteint quand sin(2x−π/3) = 1, soit pour 2x − π/3 = π/2, c'est-à-dire x = 5π/12.
Soit g(x) = cos(3x). Étudier la parité de g, puis déterminer sa période.
g(−x) = cos(−3x) = cos(3x) = g(x) (car cos est paire) : g est paire.
On cherche T > 0 tel que cos(3(x+T)) = cos(3x), soit 3T = 2π, d'où T = 2π/3.
À l'aide des variations de cos sur [0 ; π], comparer cos(1) et cos(2).
1 et 2 appartiennent à [0 ; π] (π ≈ 3,14), intervalle sur lequel cos est décroissante. Comme 1 < 2, on en déduit cos(1) > cos(2).
Résoudre dans [0 ; 2π[ l'équation sin x = √2/2.
On sait que sin(π/4) = √2/2. Les solutions de sin x = sin(π/4) dans [0;2π[ sont x = π/4 et x = π − π/4 = 3π/4 (symétrie par rapport à l'axe vertical).
S = { π/4 ; 3π/4 }.
Étudier les variations de f(x) = 2cos x − 1 sur [0 ; 2π] et donner ses valeurs extrêmes.
cos décroît sur [0;π] et croît sur [π;2π], donc f = 2cos x − 1 a le même sens de variation (2 > 0).
f décroît sur [0;π] de f(0) = 2×1−1 = 1 à f(π) = 2×(−1)−1 = −3, puis croît sur [π;2π] de −3 à f(2π) = 1.
Maximum = 1 (en x=0 et x=2π) ; minimum = −3 (en x=π).
Soit f(x) = 3sin(2x + π/4) − 1.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La période de la fonction cosinus est :
La fonction sinus est :
Le domaine de définition de tan x exclut les valeurs :
La période de la fonction tangente est :
Sur l'intervalle [π/2 ; 3π/2], la fonction sinus est :
Pour f(x) = A sin(ωx + φ) + k, la période T vaut :
tan(π/4) est égal à :
Pour f(x) = 3sin(2x − π/3) + 1 (exemple du cours), la valeur maximale de f est :
cos(0) est égal à :
Sur ]−π/2 ; π/2[, la fonction tangente est :
