Objectif Général 2 — Trigonométrie et géométrie plane. Translations, symétries centrales et axiales, rotations : définitions, propriétés de conservation, écriture analytique et composition des isométries.
Une isométrie du plan est une transformation qui conserve les distances : pour tous points M, N d'images respectives M', N' on a M'N' = MN.
Une isométrie conserve l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les milieux, les angles géométriques et les aires. L'image d'une droite est une droite, l'image d'un cercle de rayon r est un cercle de même rayon r.
Si A(1;2) et B(4;6), alors AB = √((4−1)²+(6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5. Après toute isométrie, les images A' et B' vérifient encore A'B' = 5.
Translation de vecteur u(a;b) : l'image de M(x;y) est M'(x+a ; y+b).
Symétrie centrale de centre Ω(a;b) : l'image de M(x;y) est M'(2a−x ; 2b−y), Ω étant le milieu de [MM'].
Une translation de vecteur non nul n'a aucun point fixe. Une symétrie centrale a un unique point fixe : son centre Ω.
Image de A(2;−1) par la translation de vecteur u(3;5) : A' = (2+3 ; −1+5) = (5;4).
Image de B(4;3) par la symétrie centrale de centre Ω(1;1) : B' = (2×1−4 ; 2×1−3) = (−2;−1).
Symétrie orthogonale d'axe (Ox) : M(x;y) → M'(x;−y). D'axe (Oy) : M(x;y) → M'(−x;y).
Rotation de centre O et d'angle θ : M(x;y) → M'(x cosθ − y sinθ ; x sinθ + y cosθ).
Translation et rotation sont des déplacements (conservent l'orientation des angles). La symétrie axiale est un anti-déplacement (inverse l'orientation).
Image de A(3;1) par la rotation de centre O, angle 90° (cos90°=0, sin90°=1) : x' = 3×0 − 1×1 = −1 ; y' = 3×1 + 1×0 = 3. Donc A' = (−1;3).
| Isométrie | Points fixes | Type |
|---|---|---|
| Translation (vecteur ≠ 0) | aucun | déplacement |
| Symétrie centrale | un seul (centre) | déplacement |
| Rotation (angle ≠ 0 [2π]) | un seul (centre) | déplacement |
| Symétrie axiale | une droite (l'axe) | anti-déplacement |
La composée de deux symétries axiales d'axes parallèles est une translation. La composée de deux symétries axiales d'axes sécants en Ω, faisant un angle α, est la rotation de centre Ω et d'angle 2α. La composée d'une rotation d'angle θ ≠ 0 et d'une translation est encore une rotation de même angle θ, mais de centre différent.
Soit u(−2;5) un vecteur de translation t. Calculer l'image de A(3;−1) par t.
A' = (3+(−2) ; −1+5) = (1;4).
Soit Ω(0;3). a) Calculer l'image M' de M(4;−2) par la symétrie centrale de centre Ω. b) Sachant que N'(1;−1) est l'image de N par cette même symétrie, déterminer les coordonnées de N.
a) M' = (2×0−4 ; 2×3−(−2)) = (−4;8).
b) Ω est le milieu de [NN'], donc N = (2×0−1 ; 2×3−(−1)) = (−1;7).
Soit A(2;5). Déterminer l'image A' de A par la symétrie orthogonale d'axe (Ox), puis l'image A'' de A' par la rotation de centre O et d'angle 90°.
Symétrie d'axe (Ox) : A' = (2;−5).
Rotation 90° (cos90°=0, sin90°=1) : x'' = 2×0 − (−5)×1 = 5 ; y'' = 2×1 + (−5)×0 = 2. Donc A'' = (5;2).
Soient Ω₁(a₁;b₁) et Ω₂(a₂;b₂) deux points distincts, et s₁, s₂ les symétries centrales de centres respectifs Ω₁ et Ω₂. Montrer que s₂∘s₁ est la translation de vecteur u(2(a₂−a₁) ; 2(b₂−b₁)).
Soit M(x;y). s₁(M) = M₁(2a₁−x ; 2b₁−y).
s₂(M₁) = (2a₂−(2a₁−x) ; 2b₂−(2b₁−y)) = (x + 2(a₂−a₁) ; y + 2(b₂−b₁)).
On retrouve bien les coordonnées de M translaté du vecteur u(2(a₂−a₁) ; 2(b₂−b₁)), ce qui prouve la propriété.
Soit r la rotation de centre O et d'angle 90°, et t la translation de vecteur v(1;−3). On pose f = t∘r (on applique d'abord r, puis t).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une isométrie du plan conserve toujours :
L'image de M(x;y) par la translation de vecteur u(a;b) est :
La symétrie centrale de centre Ω(a;b) transforme M(x;y) en :
Une translation de vecteur non nul possède :
La composée de deux symétries axiales d'axes parallèles est :
La composée de deux symétries axiales d'axes sécants en Ω est :
Une symétrie axiale est :
L'image de A(3;1) par la rotation de centre O et d'angle 90° est :
Le seul point fixe d'une rotation d'angle non nul (mod 2π) est :
La composée d'une rotation d'angle θ ≠ 0 et d'une translation est :
