Objectif Général 3 — Suites et fonctions. Suites arithmétiques et géométriques : terme général, somme des premiers termes, sens de variation et comportement à l'infini.
Une suite numérique (u_n) est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs réelles ; u_n est le terme de rang n. Une suite peut être définie de façon explicite (u_n = f(n)) ou par récurrence (u₀ donné et u_{n+1} = f(u_n)).
(u_n) est croissante si u_{n+1} ≥ u_n pour tout n ; décroissante si u_{n+1} ≤ u_n pour tout n. Méthode : étudier le signe de u_{n+1} − u_n.
u_n = n² − 3n. u_{n+1} − u_n = (n+1)² − 3(n+1) − (n²−3n) = 2n − 2. Pour n ≥ 1, 2n−2 ≥ 0 : la suite est croissante à partir du rang 1.
(u_n) est arithmétique de raison r si, pour tout n, u_{n+1} = u_n + r. Terme général : u_n = u₀ + n·r.
S = u₀+u₁+…+u_n = (n+1) × (u₀+u_n)/2, c'est-à-dire : somme = nombre de termes × (premier terme + dernier terme)/2.
u₀=5, r=−3. u₁₀ = 5+10×(−3) = −25. Somme des 11 premiers termes : S = 11×(5+(−25))/2 = 11×(−10) = −110.
(u_n) est géométrique de raison q (q≠0) si, pour tout n, u_{n+1} = q·u_n. Terme général : u_n = u₀ × qⁿ.
Pour q ≠ 1 : S = u₀+u₁+…+u_n = u₀ × (1−q^(n+1)) / (1−q).
u₀=3, q=2. u₅ = 3×2⁵ = 96. Somme des 6 premiers termes (n=5) : S = 3×(1−2⁶)/(1−2) = 3×(−63)/(−1) = 189.
Une suite (u_n) converge vers L si u_n se rapproche indéfiniment de L quand n → +∞ ; sinon elle diverge (vers +∞, −∞, ou sans limite).
| Type de suite | Condition | Comportement en +∞ |
|---|---|---|
| Arithmétique raison r | r > 0 | tend vers +∞ |
| Arithmétique raison r | r < 0 | tend vers −∞ |
| Arithmétique raison r | r = 0 | constante |
| Géométrique raison q | −1 < q < 1 | converge vers 0 |
| Géométrique raison q | q = 1 | constante |
| Géométrique raison q | q > 1 | tend vers +∞ (u₀>0) |
| Géométrique raison q | q ≤ −1 | divergente, sans limite |
(u_n) géométrique, u₀=10, q=0,5 : comme −1<0,5<1, u_n → 0. (v_n) arithmétique, v₀=2, r=4 : comme r>0, v_n → +∞.
Soit (u_n) arithmétique de premier terme u₀=7 et de raison r=4. Calculer u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, exprimer u_n en fonction de n, puis calculer u₂₀.
u₁=11, u₂=15, u₃=19, u₄=23, u₅=27. Terme général : u_n = 7+4n. u₂₀ = 7+4×20 = 7+80 = 87.
Soit (u_n) géométrique de premier terme u₀=2 et de raison q=3. Calculer u₁, u₂, u₃, u₄, exprimer u_n en fonction de n, puis calculer u₈.
u₁=6, u₂=18, u₃=54, u₄=162. Terme général : u_n = 2×3ⁿ. u₈ = 2×3⁸ = 2×6561 = 13122.
Calculer S = 3+7+11+…+99 (suite arithmétique de raison 4).
Nombre de termes n : 99 = 3+(n−1)×4 ⟹ 96 = 4(n−1) ⟹ n−1=24 ⟹ n=25 termes.
S = 25×(3+99)/2 = 25×51 = 1275.
Soit u_n = 5×(0,8)ⁿ. Étudier le sens de variation de (u_n), puis déterminer sa limite quand n → +∞.
u_{n+1} − u_n = 5×0,8^(n+1) − 5×0,8ⁿ = 5×0,8ⁿ×(0,8−1) = −0,2×5×0,8ⁿ. Comme 0,8ⁿ > 0, cette différence est négative : la suite est décroissante.
Comme −1 < 0,8 < 1, 0,8ⁿ → 0 quand n → +∞, donc u_n → 0.
Soit (u_n) définie par u₀=1 et u_{n+1} = 0,5u_n + 3.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une suite (u_n) est arithmétique de raison r si pour tout n :
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q est :
La somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique vaut :
Une suite géométrique de raison q avec −1<q<1 (q≠0) :
Une suite arithmétique de raison r<0 :
Pour étudier le sens de variation d'une suite, on étudie le signe de :
Si u₀=5 et r=3 (suite arithmétique), alors u₄ vaut :
Si u₀=2 et q=3 (suite géométrique), alors u₃ vaut :
Une suite géométrique de raison q=1 est :
Une suite définie par u_{n+1} = 0,5u_n + 3 admet pour point fixe L tel que :
