Objectif Général 3 — Suites et fonctions. Étude complète de fonctions rationnelles, irrationnelles et composées : domaine de définition, asymptotes, dérivation, variations.
Une fonction rationnelle est un quotient de deux fonctions polynômes : f(x) = P(x) / Q(x). Son domaine de définition est ℝ privé des racines de Q (valeurs qui annulent le dénominateur).
• En toute racine a de Q qui n'annule pas P : asymptote verticale d'équation x = a.
• Si deg(P) < deg(Q) : asymptote horizontale y = 0 en ±∞.
• Si deg(P) = deg(Q) : asymptote horizontale y = (rapport des coefficients dominants).
• Si deg(P) = deg(Q) + 1 : asymptote oblique, obtenue par division euclidienne de P par Q.
Soit f(x) = (2x − 1) / (x + 1), domaine ℝ\{−1}. On écrit :
Quand x → ±∞, 3/(x+1) → 0, donc f(x) → 2 : asymptote horizontale y = 2. Quand x → −1, |f(x)| → +∞ : asymptote verticale x = −1.
Une fonction irrationnelle fait intervenir une racine carrée d'une expression u(x). Son domaine de définition est l'ensemble des x tels que u(x) ≥ 0 (et tel que les autres termes de f soient définis).
Si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors f = √u est dérivable sur cet intervalle et :
f'(x) = u'(x) / (2√(u(x)))
g(x) = √(3x − 2) : domaine 3x−2 ≥ 0, soit x ≥ 2/3. Dérivée : g'(x) = 3 / (2√(3x−2)).
h(x) = √(x² − 4x + 5) : on écrit x²−4x+5 = (x−2)² + 1 > 0 pour tout x, donc domaine = ℝ. Dérivée : h'(x) = (2x−4) / (2√(x²−4x+5)) = (x−2)/√(x²−4x+5).
Si u est dérivable en x et v dérivable en u(x), alors v∘u est dérivable en x et :
(v∘u)'(x) = u'(x) × v'(u(x))
| Fonction composée | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| u^n (n entier) | n·u'·u^(n−1) | u dérivable |
| 1/u | −u'/u² | u ≠ 0 |
| √u | u'/(2√u) | u > 0 |
k(x) = 1/(x² + 1) : ici u(x) = x²+1, u'(x) = 2x, jamais nul au dénominateur (u > 0 toujours). Avec la formule −u'/u² :
f(x) = (x² − x + 1) / (x − 1), domaine ℝ\{1}. Division euclidienne : x²−x+1 = (x−1)·x + 1, donc :
Quand x → ±∞, 1/(x−1) → 0 : asymptote oblique y = x. Quand x → 1, |f(x)| → +∞ : asymptote verticale x = 1.
Le dénominateur (x−1)² est toujours positif. Le signe de f' dépend donc de x(x−2) : positif hors de [0;2], négatif sur ]0;2[ (privé de 1).
f(0) = 0 + 1/(0−1) = −1 (maximum local) ; f(2) = 2 + 1/(2−1) = 3 (minimum local).
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
Soit f(x) = (3x + 2) / (x − 2). Déterminer le domaine, écrire f sous la forme a + b/(x−2), puis donner les équations des asymptotes.
Domaine : x ≠ 2, soit ℝ\{2}.
Quand x → ±∞, 8/(x−2) → 0, donc f(x) → 3 : asymptote horizontale y = 3. Quand x → 2, asymptote verticale x = 2.
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
Soit f(x) = (2x − 1) / (x + 1). Déterminer le domaine, les asymptotes, calculer f'(x) et en déduire le sens de variation de f. Calculer f(0) et f(2).
Domaine : ℝ\{−1}. Comme vu en cours, f(x) = 2 − 3/(x+1) : asymptote verticale x = −1, asymptote horizontale y = 2.
Comme (x+1)² > 0 pour x ≠ −1, f'(x) > 0 partout : f est strictement croissante sur ]−∞ ; −1[ et sur ]−1 ; +∞[.
f(0) = (0−1)/(0+1) = −1. f(2) = (4−1)/(2+1) = 3/3 = 1.
Soit f(x) = (x² + 1) / (x − 2).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le domaine de définition de f(x) = √(7 − 3x) est :
Pour f(x) = (2x − 1)/(x + 1), l'asymptote verticale a pour équation :
Pour f(x) = (2x − 1)/(x + 1), l'asymptote horizontale a pour équation :
Le domaine de définition de g(x) = 1/(x² − 4) est :
La dérivée de f(x) = √x est :
Une fonction rationnelle admet une asymptote oblique lorsque :
Pour f(x) = (x² + 1)/(x − 2), l'asymptote oblique a pour équation :
La dérivée de f(x) = 1/(x + 3) est :
Pour f(x) = (2x−1)/(x+1), f'(x) = 3/(x+1)². On en déduit que f est :
Le domaine de définition de k(x) = √(x − 1)/(x − 4) est :
