Ch. 14 Mathématiques · Terminale Industrielle (TE)

Similitudes planes

Objectif Général 5 — Arithmétique, algèbre linéaire et transformations. Similitudes directes et indirectes, écriture complexe, éléments caractéristiques (rapport, angle, centre).

1. Définition et vocabulaire

Définition

Une similitude plane de rapport k > 0 est une transformation du plan qui multiplie toutes les distances par k : pour tous points M, N d'images M', N', M'N' = k × MN.

Cas particuliers

• Si k = 1 : la similitude est une isométrie (déplacement ou antidéplacement) — translations, rotations, symétries.

• Une similitude directe conserve les angles orientés (rotations, homothéties, translations en font partie).

• Une similitude indirecte transforme les angles orientés en leurs opposés (composée avec une réflexion).

2. Écriture complexe d'une similitude directe

Propriété fondamentale

Toute similitude directe du plan a pour écriture complexe z' = az + b avec a ∈ ℂ* et b ∈ ℂ. Réciproquement, toute application z ↦ az+b (a≠0) est une similitude directe.

• Le rapport de la similitude est k = |a|.

• L'angle de la similitude est θ = arg(a) (mod 2π).

• Si a = 1 : c'est la translation de vecteur d'affixe b.

• Si a ≠ 1 : la similitude a un unique point fixe Ω, son centre, d'affixe ω = b/(1−a) (solution de z = az+b).

• Si a est réel positif : c'est une homothétie de rapport a (angle 0). Si a est réel négatif : homothétie de rapport a, ce qui équivaut à une similitude directe d'angle π.

Exemple résolu

Soit la transformation d'écriture complexe z' = (1+i)z − 2i.

Rapport : k = |1+i| = √2. Angle : θ = arg(1+i) = π/4.

Centre Ω : on résout z(1−a) = b, soit z(1−(1+i)) = −2i, donc z×(−i) = −2i, d'où z = (−2i)/(−i) = 2. Vérification : pour z=2, z' = (1+i)(2) − 2i = 2+2i−2i = 2 = z ✓. Le centre est Ω(2 ; 0).

3. Déterminer une similitude directe à partir de deux points

Méthode

Étant donné A, B d'affixes z_A, z_B et leurs images A', B' d'affixes z'_A, z'_B (avec A≠B), il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'. Ses coefficients sont :

a = (z' B - z' A) / (z B - z A) puis b = z' A - a\cdotz A

Composition de similitudes directes

Si s₁ a pour écriture z' = a₁z+b₁ et s₂ a pour écriture z' = a₂z+b₂, alors s₂∘s₁ a pour écriture z' = a₁a₂·z + (a₁b₂+b₁). C'est une similitude directe de rapport k₁×k₂ et d'angle θ₁+θ₂.

Similitude indirecte

Une similitude indirecte a pour écriture complexe z' = a z̄ + b (a≠0), où z̄ désigne le conjugué de z. Son rapport est encore k=|a|.

🧠 À retenir absolument

Similitude directe : z' = az+b (a≠0) ; rapport k=|a| ; angle θ=arg(a)
Centre (si a≠1) : ω = b/(1−a) ; si a=1, c'est une translation de vecteur d'affixe b
Composition : les rapports se multiplient, les angles s'ajoutent
Similitude indirecte : z' = az̄+b, rapport k=|a|
Une similitude directe est entièrement déterminée par un couple de points et leurs images

Rapport, angle et centre

● Facile

Soit la similitude directe d'écriture complexe z' = 2iz + 1 − i.

Déterminer son rapport k et son angle θ.
Déterminer l'affixe de son centre Ω.

✅ Correction

a = 2i, donc k = |2i| = 2 et θ = arg(2i) = π/2.
On résout z(1−a) = b : z(1−2i) = 1−i, donc z = (1−i)/(1−2i). En multipliant par le conjugué (1+2i)/(1+2i) : z = (1−i)(1+2i)/5 = (1+2i−i−2i²)/5 = (1+2i−i+2)/5 = (3+i)/5. Le centre est Ω(0,6 ; 0,2).

Reconnaître une homothétie

● Facile

Déterminer la nature précise et les éléments caractéristiques de la transformation d'écriture complexe z' = 3z − 6.

✅ Correction

Ici a = 3, réel strictement positif : arg(3) = 0. C'est donc une homothétie de rapport 3 (et non une similitude « générale »).

Centre : z(1−3) = −6, donc −2z = −6, d'où z = 3. Le centre est Ω(3 ; 0).

Déterminer une similitude par deux points-images

● Moyen

Soit A d'affixe 1, B d'affixe i, A' d'affixe 2+4i et B' d'affixe −1+3i. On admet qu'il existe une unique similitude directe s telle que s(A)=A' et s(B)=B'.

Déterminer a et b tels que z' = az+b.
En déduire le rapport k et l'affixe du centre Ω (on ne demandera pas l'angle exact, non remarquable).

✅ Correction

a = (z'_B−z'_A)/(z_B−z_A) = ((−1+3i)−(2+4i))/(i−1) = (−3−i)/(i−1). En multipliant par le conjugué (−1−i) : numérateur = (−3−i)(−1−i) = 3+3i+i+i² = 2+4i ; dénominateur = (i−1)(−1−i) = 2. Donc a = 1+2i. Puis b = z'_A − a·z_A = (2+4i) − (1+2i)×1 = 1+2i.
k = |a| = |1+2i| = √5. Centre : z(1−a) = b ⟹ z(−2i) = 1+2i ⟹ z = (1+2i)/(−2i) = (−2+i)/2. Le centre est Ω(−1 ; 0,5).

Composition de deux similitudes

● Moyen

On considère s₁ : z' = iz+1 et s₂ : z' = (1+i)z. Déterminer l'écriture complexe de s₂∘s₁, puis vérifier que son rapport et son angle correspondent bien au produit des rapports et à la somme des angles de s₁ et s₂.

✅ Correction

s₂∘s₁(z) = s₂(iz+1) = (1+i)(iz+1) = (1+i)i·z + (1+i) = (i+i²)z + (1+i) = (−1+i)z + (1+i).

Rapport de la composée : |−1+i| = √2. Or k₁=|i|=1 et k₂=|1+i|=√2, donc k₁×k₂=√2 ✓.

Angle de la composée : arg(−1+i) = 3π/4 (deuxième quadrant, angle de référence π/4). Or θ₁=arg(i)=π/2 et θ₂=arg(1+i)=π/4, donc θ₁+θ₂=3π/4 ✓. La propriété de composition est bien vérifiée.

Similitudes directes involutives

● Difficile

Soit s la similitude directe d'écriture complexe z' = az+b, avec a≠1. On suppose que s∘s = s² est l'application identité.

Exprimer l'écriture complexe de s∘s en fonction de a et b.
En déduire que a² = 1 et que b(a+1) = 0.
Sachant que a≠1, déterminer la valeur de a, puis conclure sur la nature géométrique de s.

✅ Correction

s(s(z)) = a(az+b)+b = a²z + b(a+1).
s∘s = identité signifie que pour tout z, a²z + b(a+1) = z. Par identification (unicité des coefficients d'une fonction affine) : a² = 1 et b(a+1) = 0.
a² = 1 donne a = 1 ou a = −1. Comme a ≠ 1 par hypothèse, on a a = −1. L'équation b(a+1)=0 devient b×0=0, vraie pour tout b : donc b est quelconque. Avec a=−1, s a pour écriture z' = −z+b, c'est une homothétie de rapport −1, c'est-à-dire une symétrie centrale de centre Ω d'affixe b/2. Conclusion : les seules similitudes directes involutives (autres que l'identité) sont les symétries centrales.

QCM — Auto-évaluation

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Question 1 / 10

Une similitude plane de rapport k=1 est nécessairement :

Question 2 / 10

L'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme :

Question 3 / 10

Pour z' = 3iz + 2, le rapport de la similitude est :

Question 4 / 10

Pour z' = 3iz + 2, l'angle de la similitude est :

Question 5 / 10

Si a = 1 dans z' = az+b, la similitude directe est :

Question 6 / 10

Le centre Ω d'une similitude directe z'=az+b (a≠1) a pour affixe :

Question 7 / 10

La composée de deux similitudes directes de rapports k₁ et k₂ est une similitude de rapport :

Question 8 / 10

Une similitude indirecte a pour écriture complexe :

Question 9 / 10

Une homothétie de rapport k = −2 est une similitude directe d'angle :

Question 10 / 10

Le centre de la similitude z' = iz + 1 − i est le point d'affixe :