Ch. 15 Mathématiques · Terminale Industrielle (TE)

Dénombrement et probabilités

Objectif Général 6 — Dénombrement, coniques et géométrie de l'espace. Arrangements, combinaisons, probabilités conditionnelles, indépendance.

1. Outils de dénombrement

Définitions

• Permutation d'un ensemble à n éléments : nombre de façons de les ranger dans un ordre : n! = n×(n−1)×…×2×1 (avec 0!=1).

• Arrangement de p éléments parmi n (p≤n), ordre important, sans répétition : A(n,p) = n! / (n−p)!.

• Combinaison de p éléments parmi n, ordre indifférent, sans répétition : C(n,p) = n! / (p!(n−p)!).

Exemples calculés

A(5,2) = 5!/3! = 5×4 = 20 (façons de placer 2 objets parmi 5, dans un ordre donné).

C(5,2) = 5!/(2!×3!) = 20/2 = 10 (façons de choisir 2 objets parmi 5, sans ordre).

C(8,3) = 8!/(3!×5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 336/6 = 56.

2. Propriétés des combinaisons

Propriétés

• Symétrie : C(n,p) = C(n, n−p).

• Relation de Pascal : C(n,p) + C(n,p+1) = C(n+1,p+1), qui permet de construire le triangle de Pascal.

• Cas particuliers : C(n,0) = C(n,n) = 1 ; C(n,1) = n.

• Formule du binôme de Newton : (a+b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ.

3. Probabilités : vocabulaire et équiprobabilité

Vocabulaire

Une expérience aléatoire a un ensemble d'issues possibles appelé univers Ω. Un événement est une partie de Ω.

Axiomes et équiprobabilité

Une probabilité P vérifie : 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω)=1, et si A,B incompatibles, P(A∪B)=P(A)+P(B). Cas général : P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).

En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance) : P(A) = card(A) / card(Ω).

4. Probabilités conditionnelles et indépendance

Définition

Pour P(B)≠0, la probabilité de A sachant B est P_B(A) = P(A∩B) / P(B).

Formule des probabilités totales

Si {B₁,B₂} forme un système complet d'événements (partition de Ω), alors pour tout événement A : P(A) = P(B₁)×P_B1(A) + P(B₂)×P_B2(A).

Indépendance : A et B sont indépendants si P(A∩B) = P(A)×P(B).

🧠 À retenir absolument

Arrangement (ordre compte) : A(n,p)=n!/(n−p)! ; Combinaison (ordre indifférent) : C(n,p)=n!/(p!(n−p)!)
C(n,p)=C(n,n−p) ; relation de Pascal C(n,p)+C(n,p+1)=C(n+1,p+1)
Équiprobabilité : P(A)=card(A)/card(Ω)
Conditionnement : P_B(A)=P(A∩B)/P(B) ; indépendance : P(A∩B)=P(A)×P(B)
Probabilités totales : additionner les contributions de chaque branche d'un arbre pondéré

Mots avec ou sans répétition

● Facile

On dispose de 6 lettres distinctes.

Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former (sans répétition) ?
Combien de mots de 3 lettres peut-on former si les répétitions sont autorisées ?

✅ Correction

Ordre important, sans répétition : A(6,3) = 6×5×4 = 120 mots.
Chaque lettre du mot peut être choisie librement parmi 6 : 6×6×6 = 6³ = 216 mots.

Tirage dans une urne

● Facile

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer (a) une boule rouge ; (b) une boule verte ?

✅ Correction

Il y a 8 boules au total (équiprobabilité).

(a) P(rouge) = 5/8 = 0,625.

(b) P(verte) = 3/8 = 0,375. (Vérification : 5/8+3/8 = 1 ✓)

Composition d'un jury

● Moyen

Un jury de 4 personnes doit être choisi parmi 10 candidats.

Combien de jurys différents peut-on constituer ?
Combien de jurys contiennent un candidat particulier, M. X ?

✅ Correction

L'ordre n'a pas d'importance : C(10,4) = 10!/(4!×6!) = (10×9×8×7)/24 = 5040/24 = 210 jurys.
M. X est fixé dans le jury ; il reste à choisir 3 personnes parmi les 9 restantes : C(9,3) = (9×8×7)/6 = 504/6 = 84 jurys.

Probabilité conditionnelle en classe

● Moyen

Dans une classe de 30 élèves, 18 font des mathématiques (M), 12 font de la physique (P), et 8 font les deux matières. On choisit un élève au hasard.

Quelle est la probabilité qu'il fasse des maths ou de la physique ?
Sachant qu'il fait des maths, quelle est la probabilité qu'il fasse aussi de la physique ?

✅ Correction

P(M∪P) = P(M)+P(P)−P(M∩P) = 18/30 + 12/30 − 8/30 = 22/30 = 11/15 ≈ 0,733.
P_M(P) = P(M∩P)/P(M) = (8/30)/(18/30) = 8/18 = 4/9 ≈ 0,444.

Arbre pondéré et formule de Bayes

● Difficile

Une urne A contient 3 boules blanches et 2 boules noires ; une urne B contient 1 boule blanche et 4 boules noires. On choisit une urne au hasard (probabilité 1/2 chacune), puis on tire une boule dans l'urne choisie.

Calculer la probabilité que la boule tirée soit blanche.
Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne A ?

✅ Correction

On note A, B le choix de l'urne, et Bl l'événement « la boule tirée est blanche ». P(A)=P(B)=1/2. P_A(Bl)=3/5, P_B(Bl)=1/5.

Formule des probabilités totales : P(Bl) = P(A)×P_A(Bl) + P(B)×P_B(Bl) = (1/2)(3/5) + (1/2)(1/5) = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5 = 0,4.
P_Bl(A) = P(A∩Bl)/P(Bl) = (3/10)/(4/10) = 3/4 = 0,75.

QCM — Auto-évaluation

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Question 1 / 10

La formule du nombre de combinaisons C(n,p) est :

Question 2 / 10

La formule du nombre d'arrangements A(n,p) est :

Question 3 / 10

C(5,2) est égal à :

Question 4 / 10

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot « BAC » (3 lettres distinctes) ?

Question 5 / 10

La relation de symétrie des combinaisons s'écrit :

Question 6 / 10

Deux événements A et B sont indépendants si :

Question 7 / 10

La probabilité conditionnelle P_B(A) est définie par :

Question 8 / 10

On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Question 9 / 10

A(4,2) est égal à :

Question 10 / 10

Pour un système complet {B₁,B₂}, la formule des probabilités totales donne P(A) égal à :