Ch. 16 Mathématiques · Terminale Industrielle (TE)

Coniques

Objectif Général 6 — Dénombrement, coniques et géométrie de l'espace. Définition monofocale, ellipse, hyperbole, parabole : équations réduites et éléments caractéristiques.

1. Définition monofocale et excentricité

Définition

Soit F un point (le foyer), D une droite ne passant pas par F (la directrice) et e un réel strictement positif (l'excentricité). La conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e est l'ensemble des points M du plan tels que :

MF = e \times MH, où H est le projeté orthogonal de M sur D

Nature de la conique selon e

• Si 0 < e < 1 : la conique est une ellipse.

• Si e = 1 : la conique est une parabole.

• Si e > 1 : la conique est une hyperbole.

2. L'ellipse

Équation réduite

Dans un repère orthonormé centré au centre de symétrie, avec a > b > 0 :

x²/a² + y²/b² = 1

Sommets : A(±a, 0) et B(0, ±b). Foyers : F(±c, 0) avec c² = a² − b². Excentricité : e = c/a (avec 0 < e < 1 car c < a).

Exemple calculé

Ellipse d'équation x²/25 + y²/16 = 1 : a² = 25, b² = 16, donc a = 5, b = 4. c² = 25 − 16 = 9, donc c = 3.

Foyers : F(3, 0) et F'(−3, 0). Sommets : (±5, 0) et (0, ±4). Excentricité : e = 3/5 = 0,6.

3. L'hyperbole

Équation réduite

Dans un repère orthonormé centré au centre de symétrie :

x²/a² - y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)

Sommets : A(±a, 0). Foyers : F(±c, 0) avec c² = a² + b². Excentricité : e = c/a > 1 (car c > a). Asymptotes : y = ±(b/a)x.

Exemple calculé

Hyperbole d'équation x²/9 − y²/16 = 1 : a² = 9, b² = 16, donc a = 3, b = 4. c² = 9 + 16 = 25, donc c = 5.

Foyers : F(5, 0) et F'(−5, 0). Sommets : (±3, 0). Asymptotes : y = ±(4/3)x. Excentricité : e = 5/3 ≈ 1,667.

4. La parabole

Équation réduite

Dans un repère orthonormé où l'axe de symétrie de la parabole est l'axe des abscisses et son sommet est l'origine, avec p > 0 (paramètre) :

y² = 2px

Foyer : F(p/2, 0). Directrice : d'équation x = −p/2. Excentricité : e = 1 (toujours).

Exemple calculé

Parabole d'équation y² = 8x : on identifie 2p = 8, donc p = 4.

Foyer : F(2, 0). Directrice : x = −2.

🧠 À retenir absolument

Définition monofocale : MF = e×MH ; e<1 ellipse, e=1 parabole, e>1 hyperbole
Ellipse x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0) : c²=a²−b², e=c/a∈(0,1)
Hyperbole x²/a²−y²/b²=1 : c²=a²+b², e=c/a>1, asymptotes y=±(b/a)x
Parabole y²=2px : foyer F(p/2,0), directrice x=−p/2, e=1

Identifier une conique

● Facile

Pour chacune des équations suivantes, préciser la nature de la conique et calculer c et e.

x²/36 + y²/25 = 1
x²/4 − y²/9 = 1
y² = 12x

✅ Correction

Ellipse (forme x²/a²+y²/b²=1) : a²=36, b²=25 → a=6, b=5. c²=36−25=11, c=√11≈3,317. e=√11/6≈0,553.
Hyperbole (forme x²/a²−y²/b²=1) : a²=4, b²=9 → a=2, b=3. c²=4+9=13, c=√13≈3,606. e=√13/2≈1,803.
Parabole (forme y²=2px) : 2p=12 → p=6. Foyer (3,0), directrice x=−3, e=1.

Éléments d'une ellipse

● Facile

On donne l'ellipse d'équation x²/25 + y²/16 = 1.

Déterminer a, b, c et e, ainsi que les sommets et les foyers.
Le point M(3 ; 16/5) appartient-il à cette ellipse ?

✅ Correction

a²=25 → a=5 ; b²=16 → b=4. c²=25−16=9 → c=3. e=c/a=3/5=0,6. Sommets : (±5,0) et (0,±4). Foyers : F(3,0) et F'(−3,0).
On calcule x²/25 + y²/16 pour M : 3²/25 + (16/5)²/16 = 9/25 + (256/25)/16 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1. L'égalité est vérifiée : M appartient bien à l'ellipse.

Équation d'une hyperbole

● Moyen

Une hyperbole a pour sommets A(−4 ; 0) et A'(4 ; 0), et pour asymptotes les droites d'équations y = (3/4)x et y = −(3/4)x.

Déterminer son équation réduite.
Calculer c, e et donner les coordonnées des foyers.

✅ Correction

Les sommets donnent a = 4. Les asymptotes d'une hyperbole x²/a²−y²/b²=1 sont y=±(b/a)x ; ici b/a=3/4 donc b = (3/4)×4 = 3. Équation : x²/16 − y²/9 = 1.
c² = a²+b² = 16+9 = 25, donc c = 5. e = c/a = 5/4 = 1,25. Foyers : F(5,0) et F'(−5,0).

Équation d'une parabole

● Moyen

Une parabole a pour sommet l'origine O, pour axe de symétrie l'axe des abscisses, et passe par le point M(2 ; 4).

Déterminer son équation réduite.
En déduire les coordonnées du foyer et l'équation de la directrice.

✅ Correction

L'équation est de la forme y²=2px. En remplaçant par les coordonnées de M : 4² = 2p×2, soit 16 = 4p, donc p = 4. Équation : y² = 8x.
Foyer : F(p/2 ; 0) = F(2 ; 0). Directrice : x = −2.

De la définition monofocale à l'équation réduite

● Difficile

On donne un foyer F(4 ; 0), une droite directrice associée D d'équation x = 1, et une excentricité e = 2. On note H le projeté orthogonal d'un point M(x ; y) sur D.

Écrire la relation MF = e×MH sous forme d'une équation en x et y.
En développant, montrer que cette équation se ramène à x²/4 − y²/12 = 1.
Reconnaître la conique obtenue, et vérifier que les valeurs de a, b, c, e trouvées sont cohérentes avec les données de l'énoncé.

✅ Correction

MF = √((x−4)² + y²) et MH = |x−1|. La relation MF = 2×MH donne, en élevant au carré : (x−4)² + y² = 4(x−1)².
On développe : x² − 8x + 16 + y² = 4(x² − 2x + 1) = 4x² − 8x + 4. En simplifiant les termes en −8x qui s'éliminent : 16 + y² − x² = 4x² − 8x + 4 + 8x − x² ⟹ 16 + y² = 3x² + 4 ⟹ 3x² − y² = 12, soit en divisant par 12 : x²/4 − y²/12 = 1.
On reconnaît une hyperbole avec a²=4 (a=2) et b²=12 (b=2√3). On vérifie : c² = a²+b² = 4+12 = 16, donc c = 4 (cohérent avec le foyer F(4,0) donné). e = c/a = 4/2 = 2 (cohérent avec l'excentricité donnée). La directrice associée est x = a²/c = 4/4 = 1 (cohérent avec l'énoncé). Toutes les données concordent.

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Question 1 / 10

Dans l'équation d'une ellipse x²/a²+y²/b²=1 avec a>b>0, les foyers se situent :

Question 2 / 10

Pour une ellipse, la relation entre a, b et c est :

Question 3 / 10

Pour une hyperbole, la relation entre a, b et c est :

Question 4 / 10

L'excentricité d'une ellipse vérifie toujours :

Question 5 / 10

L'excentricité d'une parabole vaut toujours :

Question 6 / 10

Pour l'ellipse x²/25 + y²/16 = 1, l'excentricité e vaut :

Question 7 / 10

Les asymptotes de l'hyperbole x²/a² − y²/b² = 1 ont pour équations :

Question 8 / 10

Pour la parabole y² = 2px (p>0), le foyer a pour coordonnées :

Question 9 / 10

Pour l'hyperbole x²/9 − y²/16 = 1, la valeur de c est :

Question 10 / 10

La définition monofocale d'une conique s'écrit, pour M un point, F le foyer et H son projeté sur la directrice :