Objectif Général 6 — Dénombrement, coniques et géométrie de l'espace. Fonctions vectorielles d'une variable réelle, vecteur dérivé, vitesse, accélération, tangentes aux courbes paramétrées.
Une fonction vectorielle d'une variable réelle t associe à chaque t d'un intervalle I un point M(t) du plan, de coordonnées x(t) et y(t). On note OM(t) = (x(t), y(t)). L'ensemble des points M(t) décrit une courbe paramétrée.
Si x et y sont dérivables sur I, le vecteur dérivé de OM au point t est :
On dérive donc chaque composante indépendamment. Un point M(t₀) est dit régulier si OM'(t₀) ≠ (0, 0) ; il est dit stationnaire (ou singulier) si OM'(t₀) = (0, 0).
Si t représente le temps, OM(t) décrit la trajectoire d'un point mobile. Le vecteur vitesse à l'instant t est v(t) = OM'(t) = (x'(t), y'(t)). La vitesse scalaire (norme du vecteur vitesse) est ||v(t)|| = √(x'(t)² + y'(t)²).
Le vecteur accélération est a(t) = v'(t) = OM''(t) = (x''(t), y''(t)).
En un point régulier M(t₀) (où OM'(t₀) ≠ vecteur nul), la courbe admet une tangente dirigée par le vecteur dérivé OM'(t₀). Une équation cartésienne de cette tangente est :
• Si x'(t₀) = 0 et y'(t₀) ≠ 0 : la tangente est verticale, d'équation X = x(t₀).
• Si y'(t₀) = 0 et x'(t₀) ≠ 0 : la tangente est horizontale, d'équation Y = y(t₀).
Pour étudier une courbe M(t)=(x(t), y(t)), on procède ainsi : (1) domaine de définition et éventuelle réduction (symétries, périodicité) ; (2) calcul de x'(t) et y'(t), tableau de variations conjuguées ; (3) recherche des points à tangente horizontale (y'=0) ou verticale (x'=0) ; (4) recherche d'éventuels points doubles (deux valeurs distinctes de t donnant le même point).
Le cercle de centre O et de rayon R se paramètre par x(t) = R cos t, y(t) = R sin t. On a x'(t) = −R sin t, y'(t) = R cos t, donc ||OM'(t)|| = R√(sin²t+cos²t) = R (vitesse constante : mouvement circulaire uniforme).
On considère la courbe paramétrée par OM(t) = (2t+1, t²−3).
On paramètre le cercle de rayon 5 centré à l'origine par x(t)=5cos t, y(t)=5sin t.
On considère la courbe paramétrée par OM(t) = (t²−1, t³−3t).
Un mobile a pour vecteur position, à l'instant t (en secondes), OM(t) = (t², 2t) (coordonnées en mètres).
On reprend la courbe OM(t) = (t²−1, t³−3t).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Si OM(t)=(x(t), y(t)), le vecteur dérivé OM'(t) est égal à :
La norme du vecteur vitesse (vitesse scalaire) est donnée par :
Le vecteur accélération a(t) est défini par :
En un point régulier M(t₀), la tangente à la courbe est dirigée par :
Si x'(t₀)=0 et y'(t₀)≠0, la tangente en M(t₀) est :
Si y'(t₀)=0 et x'(t₀)≠0, la tangente en M(t₀) est :
Pour x(t)=3t, y(t)=t², le vecteur dérivé à t=2 est :
Un point stationnaire (ou singulier) M(t₀) d'une courbe paramétrée est un point où :
Un point double d'une courbe paramétrée correspond à :
Pour le cercle x(t)=Rcos t, y(t)=Rsin t, la norme du vecteur vitesse ||OM'(t)|| vaut :
