Objectif Général 2 — Dénombrement et représentations graphiques. Principes additif et multiplicatif, arrangements, combinaisons, permutations et formule du binôme de Newton.
Si une situation offre p choix possibles pour un premier cas et q choix possibles pour un second cas, et que ces deux cas sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps), alors le nombre total de choix est p + q.
Si une situation se décompose en k étapes successives et indépendantes offrant respectivement n₁, n₂, …, n_k possibilités, alors le nombre total de résultats possibles est n₁ × n₂ × … × n_k.
Pour tout entier n ≥ 1, on note n! = n × (n−1) × … × 2 × 1 (« factorielle n »), avec par convention 0! = 1.
Une plaque d'immatriculation comporte 2 lettres (26 possibles chacune) puis 3 chiffres (10 possibles chacun) : nombre total de plaques = 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676 000.
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
Une permutation d'un ensemble de n objets distincts est un rangement ordonné de tous ces objets. Le nombre de permutations est n!.
Un arrangement de p objets pris parmi n objets distincts (p ≤ n) est un choix ordonné (sans répétition) de p objets parmi les n. Leur nombre est :
Nombre de façons de ranger 5 livres distincts sur une étagère : permutation de 5 objets = 5! = 120.
Nombre de codes à 4 chiffres distincts pris parmi les 10 chiffres 0 à 9 : A(10,4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040.
Une combinaison de p objets pris parmi n objets distincts (p ≤ n) est un choix non ordonné (sans répétition) de p objets parmi les n. Leur nombre est :
Symétrie : C(n,p) = C(n,n−p). Cas particuliers : C(n,0) = C(n,n) = 1, C(n,1) = n.
Formule de Pascal : C(n,p) = C(n−1,p−1) + C(n−1,p) (elle génère le triangle de Pascal).
Nombre de comités de 3 personnes que l'on peut former dans un groupe de 8 : C(8,3) = 8!/(3!×5!) = 56.
C(6,2) = 6!/(2!×4!) = (6×5)/2 = 15. Vérification par symétrie : C(6,2) = C(6,4).
Pour tous réels a, b et tout entier naturel n :
Les coefficients C(n,k) sont appelés coefficients binomiaux et forment la n-ième ligne du triangle de Pascal.
Développer (x + 1)⁴ en utilisant la ligne n = 4 du triangle de Pascal : 1, 4, 6, 4, 1.
Combien de codes à 4 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres 0 à 9 ? Combien de codes à 4 chiffres peut-on former si les répétitions sont autorisées ?
Chiffres distincts, ordre important : c'est un arrangement de 4 parmi 10.
Avec répétitions autorisées, principe multiplicatif : 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 codes.
Calculer : 1) 5! ; 2) A(5,2) ; 3) C(5,2) ; 4) C(7,0).
Dans un groupe de 8 personnes : 1) De combien de façons peut-on élire un président, un secrétaire et un trésorier (3 postes distincts) ? 2) De combien de façons peut-on constituer un comité de 3 personnes (sans distinction de rôle) ?
1) Les postes sont distincts donc l'ordre compte : arrangement. A(8,3) = 8×7×6 = 336 façons.
2) Le comité n'a pas de rôles distincts donc l'ordre ne compte pas : combinaison. C(8,3) = 8!/(3!×5!) = 56 façons.
En utilisant la formule du binôme de Newton, développer (2x − 1)³.
Avec a = 2x, b = −1, n = 3, coefficients C(3,0)=1, C(3,1)=3, C(3,2)=3, C(3,3)=1 :
Une classe compte 12 garçons et 8 filles. On veut former une équipe de 5 élèves comportant au moins 3 filles. Combien d'équipes différentes peut-on former ?
« Au moins 3 filles » sur une équipe de 5 se décompose en 3 cas incompatibles (principe additif), chaque cas combinant un choix de filles et un choix de garçons (principe multiplicatif) :
Total = 3696 + 840 + 56 = 4592 équipes possibles.
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5! est égal à :
La formule de l'arrangement A(n,p) est :
La formule de la combinaison C(n,p) est :
Si un premier choix a 3 possibilités et un second choix (indépendant) a 4 possibilités, le nombre total de résultats (principe multiplicatif) est :
C(6,2) est égal à :
A(6,2) est égal à :
Pour tout n et tout p ≤ n, on a toujours :
La formule de Pascal s'écrit :
Le nombre de façons de ranger 4 livres distincts sur une étagère est :
Le nombre de comités de 3 personnes que l'on peut former dans un groupe de 7 est :
