Objectif Général 2 — Dénombrement et représentations graphiques. Étude et tracé des fonctions trigonométriques : domaine, périodicité, parité, dérivées et variations.
Sur le cercle trigonométrique, à tout réel x correspond un point M tel que cos x et sin x soient ses coordonnées.
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
cos²x + sin²x = 1 ; cos(−x) = cos x (paire) ; sin(−x) = −sin x (impaire) ; cos(x+2π) = cos x et sin(x+2π) = sin x (périodicité 2π).
f(x) = sin x est définie sur ℝ, périodique de période 2π, impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine). Dérivée : f'(x) = cos x.
g(x) = cos x est définie sur ℝ, périodique de période 2π, paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées). Dérivée : g'(x) = −sin x.
sin'(x) = cos x ≥ 0 sur cet intervalle : sin est croissante de −1 (en −π/2) à 1 (en π/2). Par périodicité et symétrie, on en déduit le comportement sur tout ℝ.
Calculer sin(5π/6). On écrit 5π/6 = π − π/6, donc sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2.
tan x = sin x / cos x, définie sur ℝ \ {π/2 + kπ, k∈ℤ} (là où cos x ≠ 0). C'est une fonction impaire, périodique de période π.
tan'(x) = 1 + tan²x = 1/cos²x > 0 : tan est strictement croissante sur chaque intervalle ]−π/2+kπ ; π/2+kπ[. La droite x = π/2 + kπ est asymptote verticale à la courbe.
tan(π/4) = sin(π/4)/cos(π/4) = (√2/2)/(√2/2) = 1.
Pour f(x) = A sin(ωx + φ) + k (A > 0, ω > 0) : A est l'amplitude, T = 2π/ω est la période, φ est la phase à l'origine, k est la translation verticale (valeur moyenne). f varie entre k−A et k+A.
Pour f(x) = 2 sin(3x − π/4) + 1 : amplitude A = 2, période T = 2π/3, phase φ = −π/4, translation k = 1. f(x) varie entre 1−2 = −1 et 1+2 = 3.
Sans calculatrice, donner les valeurs exactes de sin, cos et tan pour x = π/3 puis x = 3π/4.
Pour x = π/3 : sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2, tan(π/3) = √3.
Pour x = 3π/4 = π − π/4 : sin(3π/4) = sin(π/4) = √2/2, cos(3π/4) = −cos(π/4) = −√2/2, tan(3π/4) = −1.
Pour f(x) = 3 cos(2x − π/4) + 1, donner l'amplitude, la période, la phase, la translation verticale et l'intervalle des valeurs prises par f.
Amplitude A = 3. Période T = 2π/2 = π. Phase φ = −π/4. Translation verticale k = 1.
f(x) varie entre 1−3 = −2 et 1+3 = 4 : f(x) ∈ [−2 ; 4].
Étudier la parité de f(x) = x·sin x sur ℝ.
Le domaine ℝ est symétrique par rapport à 0. Calculons f(−x) :
Donc f(−x) = f(x) pour tout x : f est une fonction paire.
Résoudre dans [0 ; 2π] l'équation cos x = −1/2.
On sait que cos(2π/3) = −1/2. Les solutions de cos x = cos(2π/3) sont x = 2π/3 + 2kπ ou x = −2π/3 + 2kπ.
Sur [0 ; 2π], en prenant k = 0 puis k = 1 pour la seconde famille (−2π/3 + 2π = 4π/3) : x = 2π/3 ou x = 4π/3.
On considère f(x) = 2 sin x + 1 sur [0 ; 2π]. 1) Calculer f'(x). 2) Étudier le signe de f' et dresser le tableau de variations de f. 3) Donner les valeurs de f en 0, π/2, π, 3π/2 et 2π.
1) f'(x) = 2 cos x.
2) f'(x) = 0 pour cos x = 0, soit x = π/2 ou x = 3π/2 sur [0 ; 2π]. f'(x) > 0 (cos x > 0) sur [0 ; π/2[ ∪ ]3π/2 ; 2π], f'(x) < 0 sur ]π/2 ; 3π/2[.
f est donc croissante sur [0 ; π/2], décroissante sur [π/2 ; 3π/2], puis croissante sur [3π/2 ; 2π].
3) f(0) = 2(0)+1 = 1 ; f(π/2) = 2(1)+1 = 3 (maximum) ; f(π) = 2(0)+1 = 1 ; f(3π/2) = 2(−1)+1 = −1 (minimum) ; f(2π) = 2(0)+1 = 1.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La période de la fonction sinus est :
La dérivée de sin x est :
La dérivée de cos x est :
Le domaine de définition de tan x exclut les valeurs :
sin(π/2) est égal à :
La fonction cosinus est :
Pour f(x) = 5 sin(3x), l'amplitude est :
La période de f(x) = cos(4x) est :
Pour tout réel x, cos²x + sin²x est égal à :
Par définition, tan x est égal à :
