Généralités sur les suites, sens de variation, suites arithmétiques et géométriques, comportement à l'infini.
Une suite numérique (un) est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ : à chaque entier n on associe un réel noté un (terme d'indice n).
• Mode explicite : un est donné directement en fonction de n, par exemple un = f(n).
• Mode récurrent : le premier terme u0 est donné, et chaque terme se déduit du précédent par une relation un+1 = f(un).
(un) est croissante si, pour tout n, un+1 ≥ un ; décroissante si, pour tout n, un+1 ≤ un. Une suite ni croissante ni décroissante est dite non monotone.
• On étudie le signe de la différence u_{n+1} − u_n.
• Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer le quotient u_{n+1} / u_n à 1.
Soit vn = (2n − 1)/(n + 1) pour n ≥ 0. Calculons vn+1 − vn en réduisant au même dénominateur (n+2)(n+1) :
Ce quotient est strictement positif pour tout n ≥ 0 : la suite (vn) est strictement croissante.
(un) est arithmétique de raison r si, pour tout n : u_{n+1} = u_n + r.
Terme général : u_n = u_0 + n×r (plus généralement un = up + (n−p)×r).
Somme des n+1 premiers termes : S = u_0 + u_1 + ⋯ + u_n = (n+1) × (u_0 + u_n) / 2 (nombre de termes × moyenne du premier et du dernier).
u0 = 5, r = 3. Alors u_10 = 5 + 10×3 = 35.
Somme S = u0 + ⋯ + u10 (11 termes) : S = 11 × (5 + 35) / 2 = 11 × 20 = 220.
(un) est géométrique de raison q (q ≠ 0) si, pour tout n : u_{n+1} = q × u_n.
Terme général : u_n = u_0 × q^n.
Somme des n+1 premiers termes (q ≠ 1) : S = u_0 × (1 − q^{n+1}) / (1 − q).
u0 = 3, q = 2. Alors u_5 = 3 × 2^5 = 3 × 32 = 96.
Somme S = u0 + ⋯ + u5 (6 termes) : S = 3 × (1 − 2^6)/(1 − 2) = 3 × (−63)/(−1) = 189. Vérification directe : 3+6+12+24+48+96 = 189.
(un) converge vers un réel L si un se rapproche de L quand n devient grand ; sinon (un) diverge (limite infinie ou pas de limite).
| Suite | Condition | Limite en +∞ |
|---|---|---|
| Arithmétique de raison r | r > 0 | +∞ |
| Arithmétique de raison r | r < 0 | −∞ |
| Géométrique q^n | q > 1 | +∞ |
| Géométrique q^n | −1 < q < 1 | 0 |
| Géométrique q^n | q ≤ −1 | pas de limite (q=1 : constante 1) |
un = 6 − 5×(1/2)n. Comme −1 < 1/2 < 1, on a (1/2)n → 0, donc u_n → 6 quand n → +∞.
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 = 7 et de raison r = −2.
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison q = 3.
Soit vn = (n + 3)/(n + 1) pour n ∈ ℕ. Étudier le sens de variation de la suite (vn) en calculant vn+1 − vn.
On réduit au même dénominateur (n+2)(n+1) :
Numérateur : (n+4)(n+1) = n² + 5n + 4 et (n+3)(n+2) = n² + 5n + 6, donc la différence vaut 4 − 6 = −2.
Ainsi v_{n+1} − v_n = −2 / [(n+2)(n+1)], quantité strictement négative pour tout n ≥ 0 : la suite (vn) est strictement décroissante.
Soit (un) définie par u0 = 1 et, pour tout n, un+1 = 2un + 1.
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout n, u_{n+1} = (1/2)u_n + 3.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La suite (un) définie par un = 5 + 3n est :
La suite (un) définie par un = 4 × (0,5)n est :
Pour une suite arithmétique de raison r = −2 et u0 = 10, u5 vaut :
Pour une suite géométrique de raison q = 1/2 et u0 = 8, u3 vaut :
La somme des 10 premiers termes (u0 à u9) d'une suite arithmétique de u0 = 1 et r = 1 vaut :
Si q > 1, la suite géométrique (qn) tend vers :
Si −1 < q < 1 (q ≠ 0), la limite de qn quand n → +∞ est :
Une suite (un) est dite croissante si, pour tout n :
Pour étudier le sens de variation d'une suite à termes strictement positifs, on peut comparer :
La suite définie par u0 = 1 et un+1 = 3un a pour terme général :
