Étude complète de fonctions rationnelles, irrationnelles et composées : domaine, limites, dérivée, variations et tracé.
Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes : f(x) = P(x)/Q(x). Son domaine exclut les zéros de Q(x).
f(x) = (2x−1)/(x+3), domaine ℝ \ {−3}. Asymptote verticale x=−3 ; asymptote horizontale y=2 (car le degré du numérateur = degré du dénominateur, limite du quotient des coefficients dominants = 2/1 = 2).
Une fonction contenant une racine carrée : f(x) = √(u(x)), domaine défini par u(x) ≥ 0. Dérivée : f′(x) = u′(x) / (2√(u(x))).
f(x) = √(x²−4) : domaine défini par x²−4 ≥ 0, soit x ≤ −2 ou x ≥ 2.
f(x) = (x+1)/(x−2). Déterminer le domaine de définition et l'équation de l'asymptote verticale.
Le dénominateur s'annule pour x=2. Domaine : D = ℝ \ {2}. Asymptote verticale : x = 2.
f(x) = √(3−x). Déterminer le domaine de définition.
Il faut 3−x ≥ 0, soit x ≤ 3. D = ]−∞, 3].
f(x) = (3x−1)/(x+2). Calculer les limites en +∞ et −∞, et donner l'équation de l'asymptote horizontale.
Pour x → ±∞, on factorise par x au numérateur et au dénominateur : f(x) = x(3−1/x) / (x(1+2/x)) = (3−1/x)/(1+2/x) → 3/1 = 3.
Limite en +∞ et en −∞ : 3. Asymptote horizontale : y = 3.
f(x) = √(x²+1). Calculer f′(x) et son signe sur ℝ.
u(x)=x²+1, u′(x)=2x. f′(x) = u′(x)/(2√(u(x))) = 2x/(2√(x²+1)) = x/√(x²+1).
Comme √(x²+1) > 0 toujours, le signe de f′(x) est celui de x : f′(x) < 0 pour x<0, f′(0)=0, f′(x) > 0 pour x>0. f est donc décroissante puis croissante, minimum en x=0.
Soit f(x) = (x²−1)/(x−2) définie sur ℝ \ {2}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le domaine de f(x) = 1/(x−5) est :
Le domaine de f(x) = √(x−4) est :
Pour f(x)=P(x)/Q(x), une asymptote verticale apparaît :
La dérivée de √(u(x)) est :
La limite en +∞ de (2x+1)/(x−3) est :
Une asymptote oblique existe quand :
f(x) = √(9−x²). Le domaine est :
Pour étudier une fonction, l'ordre méthodologique correct est :
f(x)=(x−1)/(x−1) simplifiée sur son domaine vaut :
f(x)=x²/(x−1). Cette fonction admet :
