Ch. 07 Mathématiques · Terminale Industrielle (TF1/F4)

Algèbre linéaire : espace vectoriel et applications linéaires

Structure d'espace vectoriel, familles libres et génératrices, applications linéaires, noyau, image et théorème du rang.

1. Structure d'espace vectoriel

Définition

Un ensemble E muni de + et ⋅ (multiplication par un réel) est un espace vectoriel réel si (E,+) est un groupe commutatif et si λ(u+v)=λu+λv, (λ+μ)u=λu+μu, λ(μu)=(λμ)u, 1·u=u.

Sous-espace vectoriel

F ⊂ E est un sous-espace vectoriel si 0 ∈ F et F est stable par combinaison linéaire.

2. Familles libres, génératrices, bases

Définitions

Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale (tous les coefficients nuls). Elle est génératrice si tout vecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire de la famille. Une base est libre et génératrice ; le nombre de vecteurs d'une base est la dimension de E.

3. Applications linéaires

Définition

f est linéaire si f(u+v)=f(u)+f(v) et f(λu)=λf(u). Le noyau Ker f = {u : f(u)=0} et l'image Im f = {f(u) : u ∈ E} sont des sous-espaces vectoriels.

Théorème du rang

dim E = dim Ker f + dim Im f.

🧠 À retenir absolument

Sous-espace vectoriel : contient 0, stable par combinaison linéaire
Famille libre : seule combinaison nulle est celle à coefficients tous nuls
Base = famille libre et génératrice ; dimension = nombre de vecteurs d'une base
Ker f et Im f sont des sous-espaces vectoriels
dim E = dim Ker f + dim Im f (théorème du rang)

Sous-espace vectoriel ?

● Facile

F = {(x,y) ∈ ℝ² : y = 3x}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ².

✅ Correction

(0,0) vérifie 0=3×0, donc 0∈F. Soient (x,3x), (x′,3x′) ∈ F et λ,μ∈ℝ : λ(x,3x)+μ(x′,3x′)=(λx+μx′, 3λx+3μx′)=(λx+μx′, 3(λx+μx′)), qui est bien de la forme (a,3a). F est un sous-espace vectoriel.

Famille libre ?

● Facile

u=(1,0), v=(0,1). La famille (u,v) est-elle libre dans ℝ² ?

✅ Correction

λu+μv=(λ,μ)=(0,0) ⟺ λ=0 et μ=0. Seule la combinaison triviale donne 0 : la famille est libre (c'est même la base canonique de ℝ²).

Noyau et image

● Moyen

f : ℝ² → ℝ définie par f(x,y) = x−2y. Déterminer Ker f et sa dimension.

✅ Correction

f(x,y)=0 ⟺ x=2y. Donc Ker f = {(2y,y) : y ∈ ℝ} = Vect((2,1)).

Ker f est une droite vectorielle, de dimension 1.

Théorème du rang

● Moyen

En reprenant f(x,y)=x−2y de l'exercice 3 (dim E=2, dim Ker f=1), déterminer dim Im f et en déduire si f est surjective sur ℝ.

✅ Correction

Théorème du rang : dim E = dim Ker f + dim Im f, soit 2 = 1 + dim Im f, donc dim Im f = 1.

Im f ⊂ ℝ (espace d'arrivée) qui est de dimension 1. Donc Im f = ℝ tout entier : f est surjective.

Problème de synthèse

● Difficile

f : ℝ³ → ℝ² définie par f(x,y,z) = (x−y, y−z).

Montrer que f est linéaire.
Déterminer Ker f (base et dimension).
En déduire dim Im f par le théorème du rang, puis conclure sur la surjectivité de f.

✅ Correction

f(λu+μu′) = (λ(x−y)+μ(x′−y′), λ(y−z)+μ(y′−z′)) = λf(u)+μf(u′) pour u,u′ ∈ ℝ³, λ,μ ∈ ℝ. f est linéaire.
f(x,y,z)=(0,0) ⟺ x=y et y=z, donc x=y=z. Ker f = {(t,t,t) : t ∈ ℝ} = Vect((1,1,1)), dimension 1, base {(1,1,1)}.
dim E = 3 = dim Ker f + dim Im f = 1 + dim Im f, donc dim Im f = 2. Comme Im f ⊂ ℝ² (dimension 2), Im f = ℝ² : f est surjective.

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Question 1 / 10

Un sous-espace vectoriel doit toujours contenir :

Question 2 / 10

Une famille libre vérifie :

Question 3 / 10

Une base d'un espace vectoriel doit être :

Question 4 / 10

f linéaire vérifie toujours :

Question 5 / 10

Le théorème du rang énonce que :

Question 6 / 10

Si dim E = 4 et dim Ker f = 1, alors dim Im f =

Question 7 / 10

Ker f est toujours :

Question 8 / 10

La dimension d'un espace vectoriel est :

Question 9 / 10

f(x,y)=(2x,2y) sur ℝ². Ker f est :

Question 10 / 10

Une famille génératrice de E signifie que :