Objectif Général 4 — Algèbre linéaire, coniques et probabilités. Ellipse, parabole, hyperbole : définition par foyer-directrice, équations réduites, foyers, excentricité.
Soit F un point du plan, (d) une droite ne passant pas par F, et e un réel strictement positif. La conique de foyer F, de directrice (d) et d'excentricité e est l'ensemble des points M du plan vérifiant :
où d(M,(d)) désigne la distance du point M à la droite (d).
• e = 1 → la conique est une parabole
• 0 < e < 1 → la conique est une ellipse
• e > 1 → la conique est une hyperbole
L'ellipse de foyers F(c,0) et F'(−c,0) (avec 0 < c < a) est l'ensemble des points M tels que MF + MF' = 2a (constante).
Dans un repère centré au milieu O de [FF'], avec b² = a² − c² :
Sommets : A(a,0), A'(−a,0), B(0,b), B'(0,−b). Excentricité : e = c/a < 1.
Ellipse de demi-grand axe a = 5 et de foyers en (±3,0), donc c = 3. On calcule b² = a² − c² = 25 − 9 = 16, soit b = 4.
Équation réduite : x²/25 + y²/16 = 1. Excentricité : e = c/a = 3/5 = 0,6.
La parabole de foyer F et de directrice (d) est l'ensemble des points M équidistants de F et de (d) : MF = d(M,(d)) (cas e = 1).
Dans un repère où le sommet est à l'origine et l'axe focal est (Ox), avec p > 0 (paramètre) :
Foyer : F(p/2, 0). Directrice : (d) : x = −p/2.
Parabole d'équation y² = 8x. On identifie 2p = 8, donc p = 4.
Foyer : F(2, 0). Directrice : x = −2.
L'hyperbole de foyers F(c,0) et F'(−c,0) (avec c > a > 0) est l'ensemble des points M tels que |MF − MF'| = 2a (constante).
Avec b² = c² − a² :
Sommets : A(a,0), A'(−a,0). Asymptotes : y = ±(b/a)x. Excentricité : e = c/a > 1.
Hyperbole avec a = 3, b = 4. On calcule c² = a² + b² = 9 + 16 = 25, soit c = 5.
Équation : x²/9 − y²/16 = 1. Excentricité : e = 5/3. Asymptotes : y = ±(4/3)x.
| Conique | Équation réduite | Excentricité | Relation |
|---|---|---|---|
| Ellipse | x²/a² + y²/b² = 1 | 0 < e < 1 | b² = a² − c² |
| Parabole | y² = 2px | e = 1 | foyer (p/2,0) |
| Hyperbole | x²/a² − y²/b² = 1 | e > 1 | b² = c² − a² |
Soit l'ellipse d'équation x²/36 + y²/20 = 1. Déterminer a, b, c, les foyers et l'excentricité e.
Comme 36 > 20, on a a² = 36 (a = 6) et b² = 20. Alors c² = a² − b² = 36 − 20 = 16, donc c = 4.
Foyers : F(4,0) et F'(−4,0). Excentricité : e = c/a = 4/6 = 2/3.
Soit la parabole d'équation y² = 12x. Déterminer p, le foyer et la directrice.
On identifie 2p = 12, donc p = 6.
Foyer : F(3, 0). Directrice : x = −3.
Soit l'hyperbole d'équation x²/16 − y²/9 = 1. Déterminer a, b, c, e et les asymptotes.
a² = 16 (a = 4), b² = 9 (b = 3). c² = a² + b² = 16 + 9 = 25, donc c = 5.
Excentricité : e = c/a = 5/4. Asymptotes : y = ±(3/4)x.
Déterminer l'équation réduite de l'ellipse de demi-grand axe a = 5, dont les foyers sont F(4,0) et F'(−4,0).
c = 4 (distance du centre au foyer), a = 5. b² = a² − c² = 25 − 16 = 9.
Équation réduite : x²/25 + y²/9 = 1.
Une conique a pour foyer F(2,0), pour directrice associée la droite d'équation x = 8, et pour excentricité e = 1/2.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'excentricité d'une parabole vaut toujours :
Pour une ellipse de demi-grand axe a et de demi-distance focale c, on a toujours :
L'ellipse d'équation x²/25 + y²/9 = 1 a pour foyers :
Les asymptotes de l'hyperbole x²/a² − y²/b² = 1 ont pour équations :
Une conique d'excentricité e = 2 est :
La parabole de sommet O, d'axe (Ox), de foyer F(3,0), a pour équation réduite :
Pour l'hyperbole x²/9 − y²/16 = 1, la valeur de c est :
Pour une ellipse de foyers F et F', tout point M de l'ellipse vérifie :
Pour une hyperbole de foyers F et F', tout point M de l'hyperbole vérifie :
La directrice associée au foyer F(c,0) d'une conique à centre (ellipse ou hyperbole) est la droite d'équation :
