Objectif Général 4 — Algèbre linéaire, coniques et probabilités. Probabilités conditionnelles, indépendance, formule des probabilités totales, variables aléatoires discrètes.
Soit A un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement B, la probabilité conditionnelle de B sachant A, notée PA(B) ou P(B|A), est :
P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)
On sait que P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,12. Alors P_A(B) = 0,12 / 0,4 = 0,3.
Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Cela équivaut à P_A(B) = P(B) (la réalisation de A ne change pas la probabilité de B).
P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 ; P(A ∩ B) = 0,2. On vérifie P(A) × P(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B) : A et B sont indépendants.
Si (A₁, A₂, …, Aₙ) forme une partition de l'univers (événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers), alors pour tout événement B :
Une urne U₁ contient 3 boules rouges et 2 noires ; une urne U₂ contient 1 boule rouge et 4 noires. On choisit une urne au hasard (probabilité 1/2 chacune), puis on tire une boule.
P(Rouge) = P(U1)×P_U1(R) + P(U2)×P_U2(R) = 1/2 × 3/5 + 1/2 × 1/5 = 1/2 × 4/5 = 2/5 = 0,4
Si X prend les valeurs x₁, …, xₙ avec les probabilités p₁, …, pₙ (Σpᵢ = 1) :
• Espérance : E(X) = Σ xᵢ pᵢ
• Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]² avec E(X²) = Σ xᵢ² pᵢ
• Écart-type : σ(X) = √V(X)
| xᵢ | −1 | 0 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| pᵢ | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
E(X) = (−1)(0,2)+0(0,3)+2(0,4)+5(0,1) = −0,2+0+0,8+0,5 = 1,1
E(X²) = 1(0,2)+0(0,3)+4(0,4)+25(0,1) = 0,2+0+1,6+2,5 = 4,3
V(X) = 4,3 − 1,1² = 4,3 − 1,21 = 3,09, donc σ(X) = √3,09 ≈ 1,76.
On donne P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,12. Calculer P_A(B).
P_A(B) = P(A∩B)/P(A) = 0,12 / 0,4 = 0,3.
On donne P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,2. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
P(A) × P(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2 = P(A ∩ B). L'égalité est vérifiée donc A et B sont indépendants.
Une urne U₁ contient 3 boules rouges et 2 boules noires. Une urne U₂ contient 1 boule rouge et 4 boules noires. On choisit une urne au hasard (une chance sur deux), puis on tire une boule dans l'urne choisie. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
Soit R l'événement « tirer une boule rouge ». P(R) = P(U1)×P_U1(R) + P(U2)×P_U2(R) = 1/2×3/5 + 1/2×1/5 = 3/10+1/10 = 4/10 = 2/5.
P(R) = 0,4.
Un jeu propose de gagner 100 unités avec une probabilité de 0,1, ou de perdre 20 unités avec une probabilité de 0,9. Calculer l'espérance de gain X et conclure sur l'équité du jeu.
E(X) = 100 × 0,1 + (−20) × 0,9 = 10 − 18 = −8.
L'espérance est négative (−8) : le jeu est défavorable au joueur.
Une usine produit des pièces sur deux machines. La machine M₁ assure 60 % de la production avec un taux de défaut de 2 %. La machine M₂ assure 40 % de la production avec un taux de défaut de 5 %. On prélève une pièce au hasard dans la production totale. On note D l'événement « la pièce est défectueuse ».
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La probabilité conditionnelle P_A(B) est définie par :
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
On donne P(A) = 0,5 et P_A(B) = 0,3. Alors P(A ∩ B) vaut :
Pour une partition (A₁, A₂) de l'univers, la formule des probabilités totales donne P(B) égal à :
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
La variance V(X) est donnée par la formule :
Pour X prenant les valeurs −1, 0, 2, 5 avec les probabilités 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,1, l'espérance E(X) vaut :
La formule de Bayes s'écrit :
Un jeu est dit défavorable au joueur lorsque l'espérance de gain est :
Si A et B sont incompatibles (A∩B = ∅) avec P(A) > 0 et P(B) > 0, alors A et B sont :
