Objectif Général 5 — Géométrie de l'espace. Vecteurs, produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte et applications aux plans et aux volumes.
Dans un repère (O ; i, j, k) de l'espace, tout vecteur u se décompose de façon unique sous la forme u = x i + y j + z k. Le triplet (x ; y ; z) est appelé les coordonnées de u.
Pour deux points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB), le vecteur AB a pour coordonnées AB(xB−xA ; yB−yA ; zB−zA).
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s'il existe un réel λ tel que u = λv.
• Somme : u+v = (x+x' ; y+y' ; z+z')
• Produit par un réel : λu = (λx ; λy ; λz)
• Milieu I de [AB] : I( (xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ; (zA+zB)/2 )
Soit A(1 ; −2 ; 3), B(4 ; 0 ; −1) et C(−2 ; −4 ; 7).
AB(3 ; 2 ; −4) et AC(−3 ; −2 ; 4). On remarque que AC = −AB : les vecteurs sont colinéaires (λ=−1), donc A, B, C sont alignés.
Le milieu de [BC] est ((4−2)/2 ; (0−4)/2 ; (−1+7)/2) = (1 ; −2 ; 3) = A : A est le milieu de [BC].
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de u(x;y;z) et v(x';y';z') est le réel :
La norme de u est ||u|| = √(x²+y²+z²), et la distance AB = ||AB||.
Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
u(2 ; −1 ; 3) et v(1 ; 4 ; 2) : u·v = 2×1+(−1)×4+3×2 = 2−4+6 = 4 (u et v ne sont pas orthogonaux).
A(0;1;−2), B(3;0;1), C(1;4;−2) : AB(3;−1;3), AC(1;3;0), AB·AC = 3−3+0 = 0 : les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Le produit vectoriel de u(x;y;z) et v(x';y';z') est le vecteur :
• u∧v est orthogonal à u et à v.
• ||u∧v|| = ||u||×||v||×sin(θ) où θ est l'angle géométrique (u,v).
• u et v sont colinéaires si et seulement si u∧v = 0.
• L'aire du parallélogramme construit sur u et v vaut ||u∧v|| ; l'aire du triangle vaut ||u∧v|| / 2.
u(2;1;−1) et v(1;−1;3) :
u∧v = (1×3−(−1)×(−1) ; (−1)×1−2×3 ; 2×(−1)−1×1) = (2 ; −7 ; −3)
Vérification : u·(u∧v) = 4−7+3 = 0 ✓. Aire du parallélogramme construit sur u,v : ||u∧v|| = √(4+49+9) = √62 ≈ 7,87.
Un vecteur n orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires d'un plan P est un vecteur normal à P ; pour un plan (ABC), on peut prendre n = AB ∧ AC. Une équation cartésienne de P est alors a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0 où n(a;b;c).
Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w est le réel [u,v,w] = u · (v∧w). Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur u, v, w.
Le volume d'un tétraèdre construit sur trois vecteurs u, v, w issus d'un même sommet vaut :
Plan (ABC) avec A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) : AB(−1;1;0), AC(−1;0;1), n = AB∧AC = (1;1;1). Équation : 1(x−1)+1(y)+1(z)=0, soit x+y+z=1.
Tétraèdre OABC avec O(0;0;0), A(2;0;0), B(0;3;0), C(1;1;4) : OB∧OC = (12 ; 0 ; −3), [OA,OB,OC] = OA·(OB∧OC) = 2×12 = 24, donc V = 24/6 = 4.
Soit A(1 ; −2 ; 3), B(4 ; 0 ; −1) et C(−2 ; −4 ; 7).
On donne u(2;−1;3) et v(1;4;2).
On donne u(2;1;−1) et v(1;−1;3).
On considère les points A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
On considère le tétraèdre OABC avec O(0;0;0), A(2;0;0), B(0;3;0) et C(1;1;4).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si :
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de u(x;y;z) et v(x';y';z') vaut :
Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si :
Le vecteur u∧v est :
Pour u(1;0;0) et v(0;1;0), u∧v vaut :
L'aire du parallélogramme construit sur u et v vaut :
Le produit mixte [u,v,w] = u·(v∧w) permet de calculer :
Le volume d'un tétraèdre construit sur les vecteurs u, v, w vaut :
Pour trouver un vecteur normal au plan (ABC), on peut calculer :
On donne u(1;2;−3) et v(4;1;2). u et v sont-ils orthogonaux ?
