Objectif Général 6 — Calcul intégral. Primitives, intégrale d'une fonction continue, propriétés, calcul d'aires, valeur moyenne et intégration par parties.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F'(x) = f(x) pour tout x de I.
Si F₀ est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions F(x) = F₀(x) + C, où C est une constante réelle. Une primitive est déterminée de façon unique par une condition initiale (par exemple F(x₀) = y₀).
| f(x) | Primitive F(x) | Intervalle |
|---|---|---|
| x^n (n∈ℕ) | x^(n+1)/(n+1) | ℝ |
| 1/x² | −1/x | ]0;+∞[ ou ]−∞;0[ |
| 1/√x | 2√x | ]0;+∞[ |
| e^x | e^x | ℝ |
| cos x | sin x | ℝ |
| sin x | −cos x | ℝ |
Une primitive de f(x) = 3x²−4x+5 sur ℝ est F(x) = x³−2x²+5x + C (on vérifie que F'(x) = 3x²−4x+5).
Soit f continue sur [a;b] et F une primitive de f sur [a;b]. L'intégrale de f entre a et b est le réel :
Ce résultat ne dépend pas du choix de la primitive F.
• Linéarité : ∫[a,b](f+g) = ∫[a,b]f + ∫[a,b]g et ∫[a,b] k·f = k∫[a,b]f
• Relation de Chasles : ∫[a,b]f + ∫[b,c]f = ∫[a,c]f
• Positivité : si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫[a,b]f(x)dx ≥ 0
• Si f ≤ g sur [a;b], alors ∫[a,b]f ≤ ∫[a,b]g
Calculer ∫[0,2](3x²−4x+5)dx. Une primitive est F(x) = x³−2x²+5x.
∫[0,2](3x²−4x+5)dx = F(2)−F(0) = (8−8+10)−0 = 10.
Si f est continue et positive sur [a;b], l'aire du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b (en unités d'aire) vaut :
Si f est négative sur [a;b], cette aire vaut A = −∫[a,b]f(x)dx.
La valeur moyenne de f sur [a;b] est le réel :
Aire sous f(x) = −x²+2x sur [0;2] (f≥0 sur cet intervalle car f(x)=−x(x−2)) : A = ∫[0,2](−x²+2x)dx = [−x³/3+x²]_0^2 = (−8/3+4)−0 = 4/3 u.a.
Valeur moyenne de f(x)=x² sur [0;3] : μ = 1/3 × ∫[0,3]x²dx = 1/3 × [x³/3]_0^3 = 1/3 × 9 = 3.
Si u et v sont deux fonctions dérivables, à dérivées continues, sur [a;b], alors :
Cette technique permet de calculer l'intégrale d'un produit de fonctions, par exemple un polynôme multiplié par une exponentielle.
Calculer ∫[0,1] x e^x dx. On pose u'(x)=e^x (donc u(x)=e^x) et v(x)=x (donc v'(x)=1).
∫[0,1] x e^x dx = [e^x × x]_0^1 − ∫[0,1] e^x dx = (e−0) − [e^x]_0^1 = e − (e−1) = 1.
Déterminer une primitive F de f(x) = 4x³−6x²+2 sur ℝ, puis déterminer celle qui vérifie F(0)=5.
Une primitive générale est F(x) = x⁴−2x³+2x + C (on vérifie que F'(x) = 4x³−6x²+2).
F(0) = 0−0+0+C = C. La condition F(0)=5 donne C=5, donc F(x) = x⁴−2x³+2x+5.
Calculer ∫[1,3](2x−1)dx.
Une primitive de 2x−1 est F(x) = x²−x.
∫[1,3](2x−1)dx = F(3)−F(1) = (9−3)−(1−1) = 6−0 = 6.
Soit f(x) = −x²+2x sur [0;2].
Calculer la valeur moyenne de f(x) = 3x²+1 sur [0;2].
Une primitive de f est F(x) = x³+x.
μ = 1/(2−0) × ∫[0,2](3x²+1)dx = 1/2 × [F(2)−F(0)] = 1/2 × (10−0) = 5.
La valeur moyenne de f sur [0;2] est μ = 5.
Calculer ∫[0,1] (2x+1)e^x dx à l'aide d'une intégration par parties.
On pose u'(x)=e^x (donc u(x)=e^x) et v(x)=2x+1 (donc v'(x)=2).
∫[0,1] e^x(2x+1) dx = [e^x(2x+1)]_0^1 − ∫[0,1] 2e^x dx = (3e−1) − 2[e^x]_0^1 = (3e−1) − 2(e−1)
= 3e−1−2e+2 = e+1.
Donc ∫[0,1](2x+1)e^x dx = e+1 ≈ 3,72.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une primitive de f(x)=x^n (n∈ℕ) sur ℝ est :
L'intégrale ∫[a,b]f(x)dx est égale à :
La relation de Chasles s'écrit :
Si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫[a,b]f(x)dx est :
L'aire sous la courbe d'une fonction f continue et positive sur [a;b] vaut :
La valeur moyenne de f sur [a;b] est donnée par :
∫[1,3](2x−1)dx est égale à :
Une primitive de f(x)=e^x sur ℝ est :
La formule d'intégration par parties s'écrit :
∫[0,2](3x²−4x+5)dx est égale à :
