Équations différentielles du premier et du second ordre : résolution générale et avec conditions initiales.
Les solutions de y′ = ay sont les fonctions y(x) = Ce^(ax), C ∈ ℝ.
Solution particulière constante y_p = −b/a ; solution générale y(x) = Ce^(ax) − b/a.
Les solutions sont y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx), A, B ∈ ℝ (mouvement oscillatoire).
On détermine les constantes en substituant les valeurs connues y(x₀) (et y′(x₀) pour le second ordre) dans la solution générale.
Résoudre y′ = 4y.
Équation du type y′=ay avec a=4. Solution générale : y(x) = Ce^(4x), C ∈ ℝ.
Résoudre y′ = −3y avec y(0) = 4.
y(x) = Ce^(−3x). y(0) = C = 4.
y(x) = 4e^(−3x).
Résoudre y′ = 5y − 10.
y_p = −b/a = −(−10)/5 = 2. Vérification : y_p′=0=5×2−10=0 ✓.
Solution générale : y(x) = Ce^(5x) + 2, C ∈ ℝ.
Résoudre y″ + y = 0 sachant que y(0) = 0 et y′(0) = 3.
ω²=1 donc ω=1. y(x) = A cos(x) + B sin(x).
y(0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0.
y′(x) = −A sin(x) + B cos(x) ; y′(0) = B = 3.
y(x) = 3 sin(x).
Selon la loi de refroidissement de Newton, la température T(t) d'un objet vérifie T′(t) = −k(T(t) − T_ext), où T_ext est la température ambiante (constante) et k > 0. Ici T_ext = 20°C, k = 0,2 min⁻¹, et T(0) = 80°C.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Les solutions de y′ = −4y sont :
La solution particulière constante de y′ = 2y − 6 est :
Les solutions de y″ + 16y = 0 sont de la forme :
Si y(x) = Ce^(−x) et y(0) = 7, alors C vaut :
Pour y′ = ay+b, la solution générale est :
Pour déterminer A et B dans une équation du second ordre, il faut :
La loi de refroidissement de Newton T′=−k(T−T_ext) se réécrit sous la forme T′=aT+b avec :
La fonction y(x) = 5e^(2x) est solution de :
y″+ω²y=0 modélise typiquement :
Pour y′=−2y+8, la solution particulière constante est :
