Objectif Général 4 — Analyse. Primitives, intégrale d'une fonction continue sur un segment, propriétés, calcul d'aires et valeur moyenne.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si, pour tout x ∈ I : F'(x) = f(x).
Si F₀ est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions F(x) = F₀(x) + k, où k est une constante réelle quelconque.
| Fonction f | Une primitive F | Sur l'intervalle |
|---|---|---|
| f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ) | F(x) = xⁿ⁺¹ / (n+1) | ℝ |
| f(x) = 1/x² | F(x) = −1/x | ]0;+∞[ ou ]−∞;0[ |
| f(x) = 1/√x | F(x) = 2√x | ]0;+∞[ |
| f(x) = eˣ | F(x) = eˣ | ℝ |
| f(x) = cos x | F(x) = sin x | ℝ |
| f(x) = sin x | F(x) = −cos x | ℝ |
Déterminer la primitive F de f(x) = 3x² − 4x + 5 sur ℝ vérifiant F(0) = 2.
Une primitive générale est F(x) = x³ − 2x² + 5x + k (on vérifie : F'(x) = 3x² − 4x + 5 = f(x)).
F(0) = k = 2, donc F(x) = x³ − 2x² + 5x + 2.
Soit f une fonction continue sur [a;b] et F une primitive de f sur [a;b]. On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel :
Ce nombre ne dépend pas du choix de la primitive F : deux primitives diffèrent d'une constante, qui disparaît dans la soustraction F(b) − F(a).
Calculer ∫₁³ (2x + 1) dx.
Une primitive de 2x + 1 est F(x) = x² + x.
• Linéarité : ∫ₐᵇ [f(x)+g(x)] dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx et ∫ₐᵇ k·f(x) dx = k·∫ₐᵇ f(x) dx
• Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx
• Positivité : si f ≥ 0 sur [a;b] (avec a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0
• Comparaison : si f ≤ g sur [a;b] (avec a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx
Sachant que ∫₀³ f(x) dx = 7 et ∫₃⁵ f(x) dx = −2, la relation de Chasles donne directement :
Si f est continue et positive sur [a;b], l'aire A du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b, exprimée en unités d'aire (u.a.), vaut :
La valeur moyenne de f sur [a;b] est le nombre :
Aire sous la parabole f(x) = x² entre x = 0 et x = 3 (f est positive sur [0;3]) :
Valeur moyenne de f sur [0;3] : μ = (1/3) × 9 = 3.
Déterminer une primitive sur ℝ (ou sur l'intervalle indiqué) de chacune des fonctions suivantes :
Calculer les intégrales suivantes :
Soit f(x) = −x² + 4x = x(4−x), définie sur [0;4].
On sait que ∫₀³ f(x) dx = 7 et ∫₃⁵ f(x) dx = −2.
Un mobile se déplace sur un axe avec une vitesse instantanée v(t) = 2t + 3 (en m/s), pour t ∈ [0;5] (t en secondes). On note x(t) sa position, avec x(0) = 10 m.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une primitive de f(x) = x³ sur ℝ est :
Si F et G sont deux primitives de f sur un intervalle I, alors :
Si F est une primitive de f sur [a;b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx est égal à :
La relation de Chasles pour les intégrales s'écrit :
Si f ≥ 0 sur [a;b] (a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f(x) dx est :
∫₀² 3 dx (fonction constante égale à 3) vaut :
Une primitive de f(x) = 1/x² sur ]0;+∞[ est :
Si f est continue et positive sur [a;b], l'aire sous la courbe de f entre x=a et x=b (en u.a.) vaut :
La valeur moyenne d'une fonction f continue sur [a;b] est définie par :
∫₁⁴ 2x dx vaut :
