Ch. 02 Mathématiques · Terminale Commerciale (TG1/TH1)

Équations et inéquations dans R

Objectif Général 1 — Calculs et équations dans R. Équations du premier et du second degré, équations-produit, inéquations et signe d'une expression.

1. Équations du premier degré et équations-produit

Équation du premier degré

Une équation de la forme ax + b = 0 (a ≠ 0) admet une unique solution : x = −b/a.

Équation-produit

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :

A(x) × B(x) = 0 ⟺ A(x) = 0 ou B(x) = 0

Exemple

(2x−1)(x+3) = 0 ⟺ 2x−1=0 ou x+3=0 ⟺ x = 1/2 ou x = −3

2. Équations du second degré

Discriminant

Pour l'équation ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), on calcule Δ = b² − 4ac.

Nombre de solutions

• Si Δ > 0 : deux solutions distinctes x₁ = (−b−√Δ)/2a et x₂ = (−b+√Δ)/2a

• Si Δ = 0 : une solution double x₀ = −b/2a

• Si Δ < 0 : aucune solution réelle

Exemple résolu

Résoudre x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1 > 0, √Δ = 1.

x₁ = (5−1)/2 = 2 et x₂ = (5+1)/2 = 3

Vérification : 2 × 3 = 6 = c/a et 2 + 3 = 5 = −b/a ✓

3. Inéquations et signe d'une expression

Inéquation du premier degré

ax + b > 0 ⟺ x > −b/a si a > 0 (le sens de l'inégalité s'inverse si a < 0).

Signe d'un trinôme ax² + bx + c (Δ > 0)

À l'extérieur des racines, le trinôme est du signe de a ; entre les racines, il est du signe opposé à a.

Exemple

Résoudre x² − 5x + 6 > 0. Les racines sont 2 et 3 (calculées ci-dessus), a = 1 > 0 donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

Solution : x < 2 ou x > 3

🧠 À retenir absolument

ax + b = 0 ⟺ x = −b/a (a ≠ 0)
A(x)×B(x)=0 ⟺ A(x)=0 ou B(x)=0
Δ = b² − 4ac : Δ>0 (2 solutions), Δ=0 (1 solution double), Δ<0 (aucune solution)
x₁,₂ = (−b ± √Δ)/2a
Un trinôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines (si Δ>0)

Équations du premier degré

● Facile

Résoudre les équations suivantes :

3x − 7 = 2x + 5
5(x−2) = 3x + 4

✅ Correction

3x − 7 = 2x + 5 ⟺ x = 12. Solution : x = 12
5x − 10 = 3x + 4 ⟺ 2x = 14 ⟺ x = 7. Solution : x = 7

Équations-produit

● Facile

Résoudre :

(x−4)(2x+6) = 0
(3x−9)(x+1) = 0

✅ Correction

x−4=0 ou 2x+6=0 ⟺ x = 4 ou x = −3
3x−9=0 ou x+1=0 ⟺ x = 3 ou x = −1

Équations du second degré

● Moyen

Résoudre à l'aide du discriminant :

x² − 7x + 10 = 0
2x² − 3x − 2 = 0

✅ Correction

Δ = 49 − 40 = 9 = 3². x₁ = (7−3)/2 = 2, x₂ = (7+3)/2 = 5. Solutions : x = 2 ou x = 5
Δ = 9 + 16 = 25 = 5². x₁ = (3−5)/4 = −0,5, x₂ = (3+5)/4 = 2. Solutions : x = −0,5 ou x = 2

Inéquations du premier degré

● Moyen

Résoudre :

−2x + 6 ≤ 0
3(x+1) > 2x − 4

✅ Correction

−2x ≤ −6 ⟺ x ≥ 3 (on divise par −2, l'inégalité s'inverse). Solution : x ≥ 3
3x + 3 > 2x − 4 ⟺ x > −7. Solution : x > −7

Application commerciale : seuil de bénéfice

● Difficile

Une entreprise réalise un bénéfice B(x) = −x² + 8x − 7 (en milliers de FCFA), où x est la quantité produite (en centaines d'unités).

Résoudre l'inéquation B(x) ≥ 0.
En déduire les quantités x pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice positif ou nul.

✅ Correction

B(x) ≥ 0 ⟺ −x² + 8x − 7 ≥ 0 ⟺ x² − 8x + 7 ≤ 0 (en multipliant par −1, on inverse le sens). $Δ = 64 - 28 = 36 = 6² ; x₁ = (8-6)/2 = 1 ; x₂ = (8+6)/2 = 7$ Le coefficient de x² est 1 > 0, donc x² − 8x + 7 ≤ 0 entre les racines : 1 ≤ x ≤ 7.
Le bénéfice est positif ou nul pour x ∈ [1 ; 7], c'est-à-dire pour une production comprise entre 100 et 700 unités.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues

Question 1 / 10

La solution de 4x − 8 = 0 est :

Question 2 / 10

La solution de −3x + 9 = 0 est :

Question 3 / 10

(x−2)(x+5) = 0 a pour solutions :

Question 4 / 10

Le discriminant de x² − 4x + 4 vaut :

Question 5 / 10

Les solutions de x² − 4x + 4 = 0 sont :

Question 6 / 10

Le discriminant de x² + x + 1 vaut :

Question 7 / 10

Combien de solutions réelles admet x² + x + 1 = 0 ?

Question 8 / 10

Résoudre 2x + 3 ≤ 0 :

Question 9 / 10

L'ensemble solution de x² − 9 > 0 est :

Question 10 / 10

Le signe de −x² + 4 pour x = 0 est :