Objectif Général 2 — Systèmes linéaires et fonctions numériques. Résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues par substitution, combinaison et déterminant ; interprétation graphique et applications économiques.
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y s'écrit :
Résoudre le système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.
On exprime une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une des équations, puis on remplace cette expression dans l'autre équation.
Résoudre {2x + y = 7 ; x − y = 2}.
De la 2ᵉ équation : x = y + 2. On remplace dans la 1ʳᵉ : 2(y+2) + y = 7 ⟺ 3y = 3 ⟺ y = 1, donc x = 3.
Vérification : 2×3+1 = 7 ✓ et 3−1 = 2 ✓. Solution : (3 ; 1).
On multiplie une ou les deux équations par des nombres bien choisis afin d'éliminer une inconnue par addition ou soustraction membre à membre.
Pour le système {a₁x + b₁y = c₁ ; a₂x + b₂y = c₂}, on définit :
D = a₁b₂ − a₂b₁ ; Dx = c₁b₂ − c₂b₁ ; Dy = a₁c₂ − a₂c₁
Si D ≠ 0, le système admet une unique solution : x = Dx/D et y = Dy/D (méthode de Cramer).
Résoudre {3x + 2y = 12 ; 5x − 2y = 4} par combinaison : en additionnant les deux équations, 8x = 16 ⟺ x = 2. Puis 3×2+2y=12 ⟺ y = 3.
Vérification avec le déterminant : D = 3×(−2) − 5×2 = −16 ; Dx = 12×(−2) − 4×2 = −32 ⟹ x = −32/−16 = 2 ; Dy = 3×4 − 5×12 = −48 ⟹ y = −48/−16 = 3. Solution : (2 ; 3).
• Si D ≠ 0 : les deux droites sont sécantes → solution unique (point d'intersection).
• Si D = 0 et Dx = 0 et Dy = 0 : les droites sont confondues → une infinité de solutions.
• Si D = 0 et (Dx ≠ 0 ou Dy ≠ 0) : les droites sont strictement parallèles → aucune solution.
Une entreprise a une offre O(p) = 3p − 2 et une demande D(p) = −2p + 18, où p est le prix unitaire.
À l'équilibre : O(p) = D(p) ⟺ 3p−2 = −2p+18 ⟺ 5p = 20 ⟺ p = 4. Quantité d'équilibre : O(4) = 10 (on vérifie D(4) = −8+18 = 10 ✓).
Prix d'équilibre : 4 ; quantité d'équilibre : 10.
Résoudre par substitution :
Résoudre par combinaison linéaire :
À l'aide du déterminant, résoudre ou conclure :
La quantité offerte d'un article est O(p) = 4p − 5 et la quantité demandée est D(p) = −3p + 30, où p est le prix unitaire en milliers de FCFA.
Une boutique vend des chemises au prix x FCFA et des cravates au prix y FCFA. Un premier client achète 3 chemises et 2 cravates pour 39 000 FCFA. Un second client achète 5 chemises et 1 cravate pour 44 000 FCFA.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution de {x+y=10 ; x−y=4} est :
La solution de {2x+y=8 ; 2x−y=0} est :
Le déterminant du système {3x+2y=1 ; x−y=4} vaut :
Si D=0 et Dx≠0 pour un système linéaire, les droites sont :
Si D=0, Dx=0 et Dy=0, le système admet :
Pour {x+2y=5 ; 2x+4y=10}, on peut affirmer que :
Graphiquement, la solution d'un système de deux équations linéaires correspond à :
Pour l'offre O(p)=2p+1 et la demande D(p)=−p+10, le prix d'équilibre est :
Pour ce même exemple (O(p)=2p+1, D(p)=−p+10), la quantité d'équilibre est :
La méthode de substitution consiste à :
