Objectif Général 2 — Systèmes linéaires et fonctions numériques. Ensemble de définition, parité, nombre dérivé et fonction dérivée, sens de variation et tableau de variation d'une fonction numérique.
L'ensemble de définition Df d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe (le calcul est possible).
f est paire si Df est symétrique par rapport à 0 et si f(−x) = f(x) pour tout x ∈ Df (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
f est impaire si Df est symétrique par rapport à 0 et si f(−x) = −f(x) pour tout x ∈ Df (courbe symétrique par rapport à l'origine).
f(x) = (2x−1)/(x−3) : x−3=0 ⟺ x=3 exclu. Df = ℝ \ {3}
g(x) = √(x+5) : il faut x+5 ≥ 0 ⟺ x ≥ −5. Dg = [−5 ; +∞[
h(x) = x² − 3 : Df=ℝ (symétrique), h(−x) = (−x)² − 3 = x² − 3 = h(x) → paire.
k(x) = x³ − 2x : k(−x) = −x³ + 2x = −(x³−2x) = −k(x) → impaire.
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite du taux de variation de f en a. La fonction dérivée f' associe à chaque x le nombre f'(x).
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
(u+v)' = u'+v' ; (ku)' = ku' ; (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v²
f(x) = 3x² − 5x + 2 → f'(x) = 6x − 5
f(x) = (2x+1)(x−3) : avec u=2x+1, u'=2, v=x−3, v'=1 : f'(x) = 2(x−3) + (2x+1)(1) = 2x−6+2x+1 = 4x − 5
Vérification en développant : f(x) = 2x²−6x+x−3 = 2x²−5x−3, donc f'(x) = 4x−5 ✓
Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, f est strictement croissante sur I.
Si f'(x) < 0 sur un intervalle I, f est strictement décroissante sur I.
Si f' s'annule en changeant de signe en x₀, f admet un extremum local en x₀.
f(x) = x² − 4x + 3. f'(x) = 2x − 4, f'(x) = 0 ⟺ x = 2.
f'(x) < 0 pour x < 2 (décroissante), f'(x) > 0 pour x > 2 (croissante). Minimum : f(2) = 4−8+3 = −1.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | ↘ | −1 (min) | ↗ |
Déterminer l'ensemble de définition de :
Étudier la parité des fonctions suivantes (Df = ℝ dans les deux cas) :
Calculer la dérivée de :
Soit f(x) = −x² + 6x − 5.
Le coût total de production (en milliers de FCFA) d'une entreprise pour x unités produites (x ≥ 0) est C(x) = x² − 20x + 150.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de définition de f(x) = (x+2)/(x−5) est :
L'ensemble de définition de g(x) = √(x−4) est :
La fonction f(x) = x² + 1 est :
La fonction f(x) = x³ est :
La dérivée de f(x) = x⁴ est :
La dérivée de la fonction constante f(x) = 7 est :
Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors f est :
Pour f(x) = x² − 4x + 3, f'(x) vaut :
Le minimum de f(x) = x² − 4x + 3 est atteint en :
La dérivée du produit u(x)v(x) est :
