Objectif Général 2 — Systèmes linéaires et fonctions numériques. Courbe représentative, lecture graphique, asymptotes horizontale et verticale, tangente en un point, construction d'une courbe à partir du tableau de variation.
Dans un repère du plan, la courbe représentative Cf d'une fonction f est l'ensemble des points M(x ; f(x)) où x décrit l'ensemble de définition Df.
L'image d'un réel a par f est l'ordonnée du point de Cf d'abscisse a, c'est-à-dire f(a). Un antécédent d'un réel b par f est un réel x tel que f(x) = b : c'est l'abscisse d'un point de Cf d'ordonnée b (il peut y en avoir un, plusieurs, ou aucun).
Soit f(x) = x² − 2x − 3. On calcule f(−2)=4+4−3=5, f(−1)=1+2−3=0, f(0)=−3, f(1)=1−2−3=−4, f(2)=4−4−3=−3, f(3)=9−6−3=0.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 |
L'image de 1 est f(1) = −4. Les antécédents de 0 sont −1 et 3 (deux points de Cf ont pour ordonnée 0).
La droite d'équation y = k est asymptote horizontale à Cf en +∞ (resp. en −∞) si lim(x→+∞) f(x) = k (resp. en −∞). La courbe se rapproche indéfiniment de cette droite sans jamais forcément l'atteindre.
La droite d'équation x = a est asymptote verticale à Cf si lim(x→a) f(x) = +∞ ou −∞ (limite à gauche ou à droite de a).
Soit g(x) = 1/(x−2) + 3, définie sur ℝ \ {2}. Quand x tend vers 2, 1/(x−2) tend vers ±∞, donc g(x) tend vers ±∞ : la droite x = 2 est asymptote verticale. Quand x tend vers ±∞, 1/(x−2) tend vers 0, donc g(x) tend vers 3 : la droite y = 3 est asymptote horizontale.
Si f est dérivable en a, la tangente à Cf au point d'abscisse a est la droite d'équation :
Le nombre f′(a) est le coefficient directeur (la pente) de cette tangente.
Soit f(x) = x², a = 1. On a f(1) = 1 et f′(x) = 2x donc f′(1) = 2. L'équation de la tangente en a = 1 est :
y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1
Le tableau de variation (sens de variation, extrema, limites aux bornes) donne l'allure générale de la courbe. On complète avec quelques points remarquables (intersection avec les axes, valeurs particulières) pour tracer une courbe fidèle.
Soit f(x) = −x² + 2x + 3. On a f′(x) = −2x + 2, qui s'annule en x = 1. f′(x) > 0 pour x < 1 (croissante) et f′(x) < 0 pour x > 1 (décroissante). Maximum : f(1) = −1+2+3 = 4.
| x | −∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ↗ | 4 (max) | ↘ |
Points remarquables : f(0) = 3 (intersection avec l'axe des ordonnées) ; f(x) = 0 ⟺ x² − 2x − 3 = 0 ⟺ (x−3)(x+1) = 0 ⟺ x = 3 ou x = −1 (intersections avec l'axe des abscisses). La courbe est une parabole tournée vers le bas, passant par (−1;0), (0;3), (1;4) et (3;0).
On considère la fonction f(x) = x² − 2x − 3 et le tableau de valeurs suivant :
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 |
Soit g(x) = 1/(x − 3) + 2, définie sur ℝ \ {3}.
Soit f(x) = x² − 4x + 3 (fonction déjà étudiée au chapitre 4).
Soit f(x) = −x² + 2x + 3.
| x | −∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ↗ | 4 | ↘ |
Le bénéfice mensuel d'une entreprise, en fonction du nombre x de centaines d'unités vendues, est modélisé par B(x) = −2x² + 40x − 150 (B en milliers de FCFA), pour x ∈ [0 ; 20].
| x | 0 | 10 | 20 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| B(x) | ↗ | 50 | ↘ |
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points :
L'image d'un réel a par f est :
Un antécédent de b par f est un réel x tel que :
La droite y = k est asymptote horizontale à Cf en +∞ si :
La droite x = a est asymptote verticale à Cf si :
L'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a est :
Pour g(x) = 1/(x − 2) + 3, l'asymptote horizontale a pour équation :
Pour g(x) = 1/(x − 2) + 3, l'asymptote verticale a pour équation :
Si f′(a) > 0, alors la tangente à Cf en a a un coefficient directeur :
Si le tableau de variation d'une fonction montre qu'elle est croissante puis décroissante, avec f′ s'annulant en x₀, la courbe présente en x₀ :
