Ch. 06 Mathématiques · Terminale Commerciale (TG1/TH1)

Fonction logarithme népérien

Objectif Général 3 — Fonctions logarithme et exponentielle. Définition, propriétés algébriques, dérivée, étude et applications de la fonction logarithme népérien.

1. Définition de la fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0 ; +∞[. C'est l'unique fonction dérivable sur ]0 ; +∞[ qui s'annule en 1 et dont la dérivée est la fonction x ↦ 1/x.

Autrement dit, ln n'est définie que pour des nombres strictement positifs : ln x n'a pas de sens si x ≤ 0.

Valeurs et signe de ln x

• ln 1 = 0 et ln e = 1 (où e ≈ 2,718)

• Si 0 < x < 1, alors ln x < 0

• Si x = 1, alors ln x = 0

• Si x > 1, alors ln x > 0

Exemple

ln 1 = 0 (le point (1 ; 0) appartient toujours à la courbe de ln). ln e = 1 par définition du nombre e.

2. Propriétés algébriques (règles de calcul)

Relation fonctionnelle et règles de calcul

Pour tous réels a > 0 et b > 0 :

• ln(a × b) = ln a + ln b

• ln(1/a) = − ln a

• ln(a/b) = ln a − ln b

• Pour tout entier n : ln(aⁿ) = n × ln a

• ln(√a) = (1/2) × ln a

Exemples résolus

ln 5 + ln 4 = ln(5 × 4) = ln 20

ln 21 − ln 3 = ln(21/3) = ln 7

2 ln 3 = ln(3²) = ln 9

3. Dérivée, sens de variation et limites

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et :

(ln x)' = 1/x pour tout x > 0

Plus généralement, si u est une fonction dérivable et strictement positive, alors la fonction f(x) = ln(u(x)) est dérivable et :

f'(x) = u'(x) / u(x)

Exemple résolu

Soit f(x) = ln(3x + 2), définie pour x > −2/3. On pose u(x) = 3x + 2, donc u′(x) = 3. Ainsi : f′(x) = 3 / (3x + 2).

Sens de variation et limites

Comme (ln x)′ = 1/x > 0 pour tout x > 0, la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

x	0		+∞
ln x	−∞	↗	+∞

lim(x→0⁺) ln x = −∞ (la courbe admet une asymptote verticale d'équation x = 0) et lim(x→+∞) ln x = +∞.

4. Courbe représentative et application économique

Allure de la courbe

La courbe de la fonction logarithme népérien passe par le point (1 ; 0), est strictement croissante, se rapproche de l'axe des ordonnées (asymptote verticale x = 0) lorsque x tend vers 0⁺, et n'est définie que pour x > 0.

Exemple résolu — durée nécessaire pour atteindre un objectif

Le nombre d'abonnés à un service en ligne est modélisé par N(t) = 1000 × e^(0,2t), t exprimé en années (ln 3 ≈ 1,0986).

On cherche au bout de combien d'années N(t) atteint 3000 abonnés : 1000 × e^(0,2t) = 3000 ⟺ e^(0,2t) = 3.

En passant au logarithme népérien (réciproque de l'exponentielle) : 0,2t = ln 3 ≈ 1,0986, donc t ≈ 1,0986 / 0,2 ≈ 5,49, soit environ 5 ans et demi.

🧠 À retenir absolument

ln est définie uniquement sur ]0 ; +∞[ ; ln 1 = 0 ; ln e = 1
Signe de ln x : négatif si 0<x<1, nul si x=1, positif si x>1
Règles de calcul : ln(ab)=ln a+ln b ; ln(a/b)=ln a−ln b ; ln(aⁿ)=n ln a
(ln x)′ = 1/x sur ]0 ; +∞[ ; dérivée de ln(u(x)) est u′(x)/u(x)
ln strictement croissante sur ]0 ; +∞[ ; lim(0⁺) ln x = −∞ (asymptote x=0) ; lim(+∞) ln x = +∞

Simplifier des expressions logarithmiques

● Facile

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les règles de calcul sur ln (donner le résultat sous la forme d'un seul logarithme) :

ln 5 + ln 4
ln 21 − ln 3
2 ln 3
ln(1/6)

✅ Correction

ln 5 + ln 4 = ln(5 × 4) = ln 20
ln 21 − ln 3 = ln(21/3) = ln 7
2 ln 3 = ln(3²) = ln 9
ln(1/6) = − ln 6

Résoudre des équations logarithmiques

● Facile

Résoudre dans ]0 ; +∞[ (ou en précisant la condition d'existence) les équations suivantes :

ln x = ln 7
ln x = 0
ln x = 2 (donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près, sachant e² ≈ 7,389)
ln(x − 1) = ln 5

✅ Correction

ln x = ln 7 ⟺ x = 7 (par injectivité de ln)
ln x = 0 = ln 1 ⟺ x = 1
ln x = 2 ⟺ x = e² (car exp et ln sont réciproques), soit x = e² ≈ 7,39
Condition : x − 1 > 0 soit x > 1. ln(x−1) = ln 5 ⟺ x − 1 = 5 ⟺ x = 6 (valeur qui vérifie bien x > 1)

Étude d'une fonction logarithme

● Moyen

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln x − 2.

Calculer f′(x) et déterminer son signe sur ]0 ; +∞[.
En déduire le sens de variation de f.
Calculer les limites de f en 0⁺ et en +∞.
Résoudre l'équation f(x) = 0 (donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près sachant e² ≈ 7,389).

✅ Correction

f′(x) = 1/x. Comme x > 0, on a f′(x) > 0 sur ]0 ; +∞[.
Puisque f′(x) > 0 sur ]0 ; +∞[, la fonction f est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁺) ln x − 2 = −∞ − 2 = −∞ (asymptote verticale x = 0). lim(x→+∞) f(x) = +∞ (car ln x → +∞).
f(x) = 0 ⟺ ln x = 2 ⟺ x = e² (car ln et exp sont réciproques), soit x = e² ≈ 7,39.

Application économique : temps pour atteindre un objectif

● Moyen

Le nombre d'abonnés à un service en ligne est modélisé par N(t) = 1000 × e^(0,2t), où t est exprimé en années (ln 2 ≈ 0,6931 ; ln 3 ≈ 1,0986).

Calculer N(0) et justifier son interprétation.
Déterminer, en résolvant une équation avec ln, au bout de combien d'années (arrondi à l'année près) le nombre d'abonnés atteindra 2000.

✅ Correction

N(0) = 1000 × e⁰ = 1000 × 1 = 1000 abonnés : c'est le nombre d'abonnés initial (à t = 0).
N(t) = 2000 ⟺ 1000 × e^(0,2t) = 2000 ⟺ e^(0,2t) = 2 ⟺ 0,2t = ln 2 (en passant au logarithme népérien) ⟺ t = ln 2 / 0,2 ≈ 0,6931 / 0,2 ≈ 3,47, soit environ 3 ans et demi (4 ans arrondi à l'année).

Problème de synthèse : coût de production et logarithme

● Difficile

Le coût unitaire de production (en milliers de FCFA) est modélisé par C(x) = 5 + 3 ln x pour x ≥ 1, où x désigne le nombre de centaines d'unités produites.

Calculer C′(x) et en déduire le sens de variation de C sur [1 ; +∞[.
Déterminer la limite de C(x) quand x tend vers +∞. Que peut-on en conclure sur l'évolution du coût ?
Résoudre l'équation C(x) = 20 et en déduire, arrondi à la centaine d'unités près, la quantité produite correspondant à ce coût (sachant e⁵ ≈ 148,4).

✅ Correction

C′(x) = 3 × (1/x) = 3/x. Comme x ≥ 1 > 0, on a C′(x) > 0 sur [1 ; +∞[ : C est strictement croissante.
Quand x → +∞, ln x → +∞, donc lim(x→+∞) C(x) = +∞ : le coût unitaire augmente indéfiniment, mais de plus en plus lentement (croissance logarithmique).
C(x) = 20 ⟺ 5 + 3 ln x = 20 ⟺ 3 ln x = 15 ⟺ ln x = 5 ⟺ x = e⁵ ≈ 148,4. Le coût de 20 000 FCFA est donc atteint pour environ x ≈ 148 centaines d'unités, soit environ 14 800 unités produites.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Le domaine de définition de la fonction ln est :

Question 2 / 10

ln 1 est égal à :

Question 3 / 10

ln e est égal à :

Question 4 / 10

Pour tous réels a > 0 et b > 0, ln(a × b) est égal à :

Question 5 / 10

Pour tous réels a > 0 et b > 0, ln(a/b) est égal à :

Question 6 / 10

La dérivée de la fonction f(x) = ln x est :

Question 7 / 10

lim(x→0⁺) ln x est égale à :

Question 8 / 10

lim(x→+∞) ln x est égale à :

Question 9 / 10

La fonction logarithme népérien est strictement ... sur ]0 ; +∞[ :

Question 10 / 10

Pour tout réel a > 0 et tout entier n, ln(aⁿ) est égal à :