Objectif Général 3 — Fonctions logarithme et exponentielle. Définition, propriétés, dérivée, étude et applications économiques de la fonction exponentielle népérienne.
La fonction exponentielle népérienne, notée exp, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ln. Pour tout réel x, exp(x) est l'unique nombre réel strictement positif y tel que ln(y) = x.
On note exp(x) = eˣ, où e = exp(1) ≈ 2,718 est un nombre irrationnel appelé base du logarithme népérien.
• e⁰ = 1 et e¹ = e
• Pour tout x ∈ ℝ, eˣ > 0 (l'exponentielle est toujours strictement positive)
• Pour tout x ∈ ℝ : ln(eˣ) = x
• Pour tout x > 0 : e^(ln x) = x
ln(e³) = 3 (car ln et exp sont réciproques). De même, e^(ln 7) = 7.
Pour tous réels a et b :
• e^(a+b) = eᵃ × eᵇ
• e^(−a) = 1 / eᵃ
• e^(a−b) = eᵃ / eᵇ
• Pour tout entier n : (eᵃ)ⁿ = e^(na)
e³ × e⁻⁵ = e^(3−5) = e⁻²
(e²)⁴ = e^(2×4) = e⁸
e⁻² / e⁻⁵ = e^(−2−(−5)) = e³
La fonction exponentielle népérienne est dérivable sur ℝ et elle est sa propre dérivée :
Plus généralement, si u est une fonction dérivable, alors la fonction f(x) = e^(u(x)) est dérivable et :
Soit f(x) = e^(2x+1). On pose u(x) = 2x+1, donc u′(x) = 2. Ainsi : f′(x) = 2 × e^(2x+1).
Comme (eˣ)′ = eˣ > 0 pour tout x, la fonction exponentielle népérienne est strictement croissante sur ℝ.
| x | −∞ | +∞ | |
|---|---|---|---|
| eˣ | 0 | ↗ | +∞ |
lim(x→−∞) eˣ = 0 (la courbe admet une asymptote horizontale d'équation y = 0 en −∞) et lim(x→+∞) eˣ = +∞.
La courbe de la fonction exponentielle népérienne passe par le point (0 ; 1), reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses, est strictement croissante, et se rapproche de l'axe des abscisses (asymptote y = 0) lorsque x tend vers −∞.
Le chiffre d'affaires d'une entreprise est modélisé par C(t) = 5 × e^(0,1t) (en millions de FCFA), t exprimé en années.
Chiffre d'affaires initial : C(0) = 5 × e⁰ = 5 × 1 = 5 millions FCFA.
Chiffre d'affaires prévu après 5 ans : e^0,5 ≈ 1,6487, donc C(5) = 5 × 1,6487 ≈ 8,24 millions FCFA.
Simplifier les expressions suivantes en utilisant les règles de calcul sur les puissances de e :
Résoudre dans ℝ les équations suivantes, en utilisant le fait que eᵃ = eᵇ équivaut à a = b :
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = eˣ − 2.
Un capital de 2 000 000 FCFA est placé selon une croissance continue modélisée par C(t) = 2 000 000 × e^(0,05t), où t est exprimé en années (e^0,25 ≈ 1,2840 ; e^0,5 ≈ 1,6487).
On reprend le modèle de capitalisation continue C(t) = 2 000 000 × e^(0,05t) (t en années, ln 2 ≈ 0,693).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
e⁰ est égal à :
La dérivée de la fonction f(x) = eˣ est :
Pour tous réels a et b, e^(a+b) est égal à :
e^(−a) est égal à :
lim(x→+∞) eˣ est égale à :
lim(x→−∞) eˣ est égale à :
La fonction exponentielle népérienne est strictement ... sur ℝ :
Pour tout réel x, eˣ est :
Si eˣ = e³, alors x est égal à :
La dérivée de f(x) = e^(2x) est :
