Objectif Général 4 — Dénombrement, probabilités et suites. Principes additif et multiplicatif, arrangements et combinaisons simples.
Si un choix se fait parmi plusieurs cas exclusifs (qui ne peuvent pas se produire en même temps), le nombre total de possibilités est la somme des possibilités de chaque cas.
Si une situation résulte d'une succession de choix indépendants (choix 1, puis choix 2, puis choix 3…), le nombre total de possibilités est le produit du nombre de possibilités de chaque choix.
Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Un menu se compose d'une entrée, d'un plat et d'un dessert (choix successifs indépendants) : 3 × 4 × 2 = 24 menus différents possibles.
Pour un entier n ≥ 1, on appelle factorielle de n, notée n!, le produit des entiers de 1 à n : n! = n × (n−1) × … × 2 × 1. Par convention, 0! = 1.
Le nombre de façons de ranger dans un certain ordre n objets distincts (une permutation) est n!.
Le nombre de façons de ranger 5 livres distincts côte à côte sur une étagère est 5! = 5×4×3×2×1 = 120 rangements possibles.
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est un choix ordonné de p éléments distincts pris parmi n éléments, sans répétition. On note leur nombre A(n,p).
Un concours de vente réunit 8 candidats. On établit un podium (1er, 2e, 3e), où l'ordre compte. Le nombre de podiums possibles est A(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336.
Une combinaison de p éléments parmi n (p ≤ n) est un choix non ordonné (un sous-ensemble) de p éléments distincts pris parmi n éléments. On note leur nombre C(n,p).
Une classe de 10 élèves doit désigner un comité de 3 délégués (aucun rôle particulier, l'ordre ne compte pas). Le nombre de comités possibles est C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 720/6 = 120.
Une entreprise attribue à chaque employé un badge composé d'une lettre parmi {A, B, C} suivie d'un chiffre parmi {1, 2, 3, 4, 5}.
Le choix de la lettre (3 possibilités) et le choix du chiffre (5 possibilités) sont deux choix successifs indépendants. D'après le principe multiplicatif :
3 × 5 = 15 badges différents possibles.
1. Calculer 4! et 6!.
2. Un vendeur doit exposer 4 produits distincts en vitrine, alignés dans un certain ordre. Combien d'agencements différents sont possibles ?
Un directeur commercial veut établir un podium (1er, 2e, 3e) parmi les 8 meilleurs vendeurs de l'année.
Une classe de 25 élèves doit désigner un comité de 4 délégués, sans distinction de rôle entre eux.
Un coffre-fort s'ouvre avec un code de 4 chiffres distincts choisis parmi {0, 1, 2, …, 9}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le principe multiplicatif s'applique lorsque :
4! est égal à :
A(5,2), le nombre d'arrangements de 2 éléments parmi 5, vaut :
C(5,2), le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 5, vaut :
La formule du nombre d'arrangements A(n,p) est :
La formule du nombre de combinaisons C(n,p) est :
Dans un arrangement, l'ordre des éléments choisis :
Dans une combinaison, l'ordre des éléments choisis :
Le nombre de façons de ranger 3 objets distincts en ligne est :
C(6,3) est égal à :
