Objectif Général 4 — Dénombrement, probabilités et suites. Probabilités élémentaires, événements, calcul de probabilités simples.
On appelle univers, noté Ω, l'ensemble de toutes les issues (résultats) possibles d'une expérience aléatoire.
Un événement est un sous-ensemble de l'univers Ω. Un événement élémentaire est un événement réduit à une seule issue. L'événement contraire d'un événement A, noté Ā, est constitué de toutes les issues de Ω qui n'appartiennent pas à A.
On lance un dé cubique équilibré à 6 faces. L'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L'événement A « obtenir un nombre pair » est A = {2, 4, 6}. Son contraire Ā « obtenir un nombre impair » est {1, 3, 5}.
Lorsque toutes les issues de l'univers Ω ont la même chance de se réaliser (équiprobabilité), la probabilité d'un événement A est le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles.
On a toujours 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, P(∅) = 0, et P(Ā) = 1 − P(A).
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules blanches et 2 boules vertes (10 boules au total, indiscernables au toucher). On tire une boule au hasard. P(rouge) = 5/10 = 1/2. D'après la formule du contraire, P(non rouge) = 1 − 1/2 = 1/2.
La réunion A∪B est l'événement « A se réalise ou B se réalise ». L'intersection A∩B est l'événement « A et B se réalisent simultanément ». Deux événements A et B sont dits incompatibles (ou disjoints) si A ∩ B = ∅ : ils ne peuvent pas se produire en même temps.
Si A et B sont incompatibles, P(A ∩ B) = 0, donc P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Soit A « obtenir un roi » (4 rois) et B « obtenir un cœur » (8 cœurs). L'intersection A∩B est « obtenir le roi de cœur » (1 carte). P(A ∪ B) = 4/32 + 8/32 − 1/32 = 11/32.
Lorsque le nombre d'issues possibles est grand (tirages simultanés de plusieurs objets), on utilise les outils de dénombrement (arrangements, combinaisons) pour compter le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.
Pour un tirage simultané où l'ordre n'a pas d'importance, on utilise les combinaisons C(n,p) pour compter les cas possibles et les cas favorables, puis on applique P(A) = card(A) / card(Ω).
Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules blanches (10 boules). On tire simultanément 3 boules au hasard. Le nombre de tirages possibles est C(10,3) = 120. Le nombre de tirages avec 3 boules rouges est C(6,3) = 20. Donc P(3 rouges) = 20/120 = 1/6.
On lance un dé cubique équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
L'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, soit 6 issues équiprobables. Les multiples de 3 présents sont {3, 6}, soit 2 cas favorables.
P(multiple de 3) = 2/6 = 1/3.
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues (10 boules au total, indiscernables au toucher). On tire une boule au hasard.
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. On considère A « obtenir un roi » et B « obtenir un cœur ».
Un sac contient 20 jetons numérotés de 1 à 20, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard.
Une classe compte 12 élèves : 7 garçons et 5 filles. On forme au hasard un comité de 3 élèves.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'univers d'une expérience aléatoire est :
Un événement, dans le cadre des probabilités, est :
Deux événements A et B sont dits incompatibles si :
Pour un dé équilibré à 6 faces, la probabilité d'obtenir un nombre pair est :
Si P(A) = 0,3, alors P(Ā) vaut :
La formule générale de P(A ∪ B) pour deux événements quelconques est :
Dans une urne contenant 4 boules rouges et 6 boules blanches, la probabilité de tirer une boule rouge est :
Le nombre de tirages simultanés possibles de 3 boules parmi 10 est donné par :
Si A et B sont incompatibles, alors P(A ∪ B) est égal à :
La probabilité d'un événement est toujours comprise entre :
