Dans tout triangle ABC, R rayon du cercle circonscrit :
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
a²=b²+c²-2bc.cos A ; b²=a²+c²-2ac.cos B ; c²=a²+b²-2ab.cos C.
Cas particulier : A=90° → a²=b²+c² (Pythagore).
Aire = (1/2)ab.sin C = (1/2)bc.sin A = (1/2)ac.sin B.
Formule de Heron : Aire=racine(s(s-a)(s-b)(s-c)) avec s=(a+b+c)/2.
Pour u=(a;b) et v=(c;d) : u.v=ac+bd=||u||.||v||.cos(u,v).
det(u,v)=ad-bc=||u||.||v||.sin(u,v).
Angle (u,v) : cos=(ac+bd)/(||u||.||v||) et sin=(ad-bc)/(||u||.||v||).
A, B, C alignes ssi det(AB,AC)=0.
Quatre points cocycliques (sur un meme cercle) ssi les angles inscrits interceptant le meme arc sont egaux (mod pi).
Equivalence : (AB,AC)=(DB,DC) mod pi.
C=60°. 2R=a/sin A=10/sin50°≈13,05. b=2R.sin B≈12,26. c=2R.sin C≈11,30. R≈6,53.
u=(3;1), v=(1;3). (1) Calculer u.v et det(u,v). (2) Cos et sin de l angle (u,v). (3) Valeur de l angle.
(1) u.v=6. det=9-1=8. (2) ||u||=||v||=racine(10). cos=6/10=3/5. sin=8/10=4/5. (3) theta=arccos(3/5)≈53,1°.
A et B distants de 500m. Observateur en C. Angle CAB=75°, angle CBA=60°. (1) Calculer angle ACB. (2) Calculer AC et BC. (3) Distance de C a la droite AB.
(1) ACB=45°. (2) 2R=AB/sin C=500/sin45°=500racine(2). AC=500racine(2)×sin60°=250racine(6)≈612m. BC=500racine(2)×sin75°≈683m. (3) h=2×Aire/AB. Aire=(1/2)×AC×BC×sin(ACB)=(1/2)×250racine(6)×683×sin45°≈208000. h=2×208000/500≈832m.
10 questions
a/sinA=2R (R=rayon cercle circonscrit). Si a=10 et A=pi/6 :
Al-Kashi : a² :
Aire avec b=4, c=5, A=30° :
det(u,v)=ad-bc avec u=(a;b), v=(c;d). Si det=0 :
Produit scalaire u.v=||u||.||v||.cos(u,v). Si u.v=0 :
Formule de Heron avec s=(a+b+c)/2 :
Triangle ABC, a=6, b=8, c=10. C vaut :
sin(angle(u,v))=(ad-bc)/(||u||.||v||). Si u=(1;0), v=(0;1) :
Cocyclicite de 4 points : angles inscrits sur le meme arc :
Dans un triangle, A+B+C=pi. Donc sin(A+B) :
