G barycentre de (Ai,ai) avec somme ai ≠ 0 : a1.GA1 + a2.GA2 + ... = vecteur nul.
Coordonnees : G=( somme(ai.xi)/somme(ai) ; somme(ai.yi)/somme(ai) ).
Milieu de [AB] : barycentre de (A,1) et (B,1). MA + MB = vecteur nul.
Centre de gravite de ABC : barycentre de (A,1),(B,1),(C,1). G=((xA+xB+xC)/3 ; ...).
Associativite : on peut regrouper des points ponderes.
Si somme ai ≠ 0 : f(M)=(somme ai).MG ou G=barycentre. Minimum de ||f(M)|| en G (vaut 0).
Si somme ai = 0 : f(M) est un vecteur constant, independant de M.
f(M)=(somme ai).MG² + k ou G est le barycentre et k une constante.
Minimum de f(M) atteint en G, de valeur k.
Cas particulier (a=b=1) : MA²+MB²=2MG²+AB²/2 (theoreme de la mediane).
f(M)=MA²+MB²=k : cercle de centre G=milieu de AB et rayon racine(k/2-AB²/4).
Arc capable d angle theta sur [AB] : ensemble des M ou angle AMB = theta constant = arc de cercle.
theta=90° : demi-cercle de diametre [AB] (Thales).
A(1;0), B(3;2), C(5;-2). Reduire g(M)=MA+2.MB+3.MC et trouver le barycentre G. Calculer g(G).
Somme poids=6. G=((1+6+15)/6;(0+4-6)/6)=(11/3;-1/3). g(G)=6.GG=vecteur nul.
A(2;0), B(-2;0). (1) f(M)=MA²+MB² en fonction de M=(x;y). (2) Minimum et point optimal. (3) Ensemble f(M)=8.
(1) f=2(x²+y²)+8. (2) Min=8 en G=(0;0). (3) 2(x²+y²)+8=8 => x²+y²=0 => {O} seul point.
A(-2;0), B(2;0). (1) Condition MA.MB=0 en coords de M=(x;y). (2) Identifier l ensemble. (3) Interpretation (arc capable).
(1) MA=(-2-x;-y), MB=(2-x;-y). MA.MB=(x²-4)+y²=0. (2) x²+y²=4 : cercle de centre O, rayon 2. (3) Ensemble des M ou angle AMB=90° : cercle de diametre AB.
A(0;0), B(4;0). f(M)=2.MA²+MB². (1) G=barycentre de (A,2) et (B,1). (2) Montrer f(M)=3.MG²+k. (3) Ensemble f(M)=4.
(1) G=(4/3;0). (2) k=2.GA²+GB²=2×(16/9)+(8/3)²=32/9+64/9=96/9=32/3. f(M)=3.MG²+32/3. (3) 3MG²=4-32/3=(12-32)/3=-20/3<0 : ensemble vide (f(M)≥32/3>4).
10 questions
Barycentre G de (Ai,ai) verifie :
Centre de gravite de ABC :
Si somme ai=0 dans f(M)=somme ai.MAi :
MA²+MB²=2MG²+... avec G=milieu de [AB] :
f(M)=MA²+MB² est minimale en :
Arc capable d angle 90° sur [AB] :
Barycentre de (A,3),(B,1) avec A(0;0),B(4;0) :
Si f(M)=somme ai.MAi et somme ai≠0 : le min de ||f|| est :
Image d un cercle de rayon r par H(O,k) :
f(M)=(somme ai)MG²+k. Minimum de f :
