||u+v||²=||u||²+2u.v+||v||² ; ||u-v||²=||u||²-2u.v+||v||².
(u+v).(u-v)=||u||²-||v||².
u.v=(||u+v||²-||u-v||²)/4 (formule de polarisation).
Cercle de centre Omega(a;b) et rayon r : (x-a)²+(y-b)²=r².
Forme generale : x²+y²+Dx+Ey+F=0 avec centre (-D/2;-E/2) et rayon racine(D²/4+E²/4-F).
M sur le cercle de diametre [AB] ssi AM.MB=0 (Thales inverse).
pow(P)=POmega²-r². pow>0 : P exterieur. pow=0 : P sur le cercle. pow<0 : P interieur.
Si une droite par P coupe le cercle en M et N : pow(P)=PM×PN (algebrique).
M milieu de [AB]. Pour tout point P : PA²+PB²=2PM²+AB²/2.
Demo : PA=PM+MA, PB=PM+MB=PM-MA. ||PA||²+||PB||²=2||PM||²+2||MA||²=2PM²+AB²/2.
Distance de P(x0;y0) a la droite ax+by+c=0 : d=|ax0+by0+c|/racine(a²+b²).
Distance de P(x0;y0;z0) au plan ax+by+cz+d=0 : d=|ax0+by0+cz0+d|/racine(a²+b²+c²).
Longueur de la corde : si d<r, corde=2racine(r²-d²).
u=(3;4), v=(1;-2). (1) u.v, ||u||, ||v||. (2) ||u+v||² par identite. (3) Verifier directement.
(1) u.v=3-8=-5. ||u||=5. ||v||=racine(5). (2) 25-10+5=20. (3) u+v=(4;2). ||u+v||²=16+4=20 ✅.
A(1;0), B(5;0), M=(3;0). Verifier PA²+PB²=2PM²+AB²/2 pour P(0;3).
PA²=1+9=10. PB²=25+9=34. Somme=44. 2PM²+AB²/2=2×(9+9)+16/2=36+8=44 ✅.
A(0;0), B(4;0), C(4;3), D(0;3). (1) Montrer que ABCD est un rectangle. (2) Diagonales AC et BD. (3) Trouver le cercle circonscrit. (4) Verifier pow(A)=0.
(1) AB.AD=(4;0).(0;3)=0 : angle droit. Rectangle. (2) AC=BD=5 (egales). (3) Omega=centre des diagonales=(2;3/2). r=AC/2=5/2. (4) AO²=4+9/4=25/4=r² => pow=0 ✅.
10 questions
||u+v||² :
Cercle de diametre [AB] : M dessus ssi :
pow(P)=POmega²-r². pow<0 signifie :
PA²+PB²=2PM²+? (M milieu de [AB]) :
d(P,droite ax+by+c=0) :
pow(P)=0 signifie :
(u+v).(u-v) :
d(P,plan ax+by+cz+d=0) :
Le minimum de PA²+PB² (M milieu de [AB]) est :
u=(3;4). ||u||²=
