Ch. 18 Geometrie analytique dans le plan et l espace — 1ère D Mathématiques

1. Droites dans le plan

Formes d equation

Reduite : y=mx+b (pente m, ordonnee a l origine b).

Cartesienne : ax+by+c=0, normale n=(a;b), directrice u=(-b;a).

Parametrique : x=x0+at, y=y0+bt (A0 point, u=(a;b) vecteur directeur).

Perpendiculaires : m1×m2=-1 ou n1.u2=0.

2. Plans et droites dans l espace

Equations

Plan par A0(x0;y0;z0) de normale n=(a;b;c) : a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.

Droite par A(x0;y0;z0) de vecteur u=(a;b;c) : x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct.

Forme symetrique (a,b,c tous non nuls) : (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c.

Positions relatives

Droite (vecteur u) et plan (normale n) :

u.n=0 : droite parallele au plan (ou incluse). u.n≠0 : droite secante.

u=k.n : droite perpendiculaire au plan.

3. Cercle et sphere

Equations

Cercle centre Omega(a;b) rayon r : (x-a)²+(y-b)²=r². Forme : x²+y²+Dx+Ey+F=0.

Sphere centre Omega(a;b;c) rayon r : (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r².

Position droite-cercle

d=distance du centre a la droite. d<r : secante (2 points). d=r : tangente. d>r : exterieure.

4. Expressions analytiques des isometries

Formules en coordonnees

Translation (a;b) : x'=x+a, y'=y+b.

R(O,pi/2) : x'=-y, y'=x. R(O,pi) : x'=-x, y'=-y.

Sym/Ox : x'=x, y'=-y. Sym/Oy : x'=-x, y'=y. Sym/y=x : x'=y, y'=x.

H(O,k) : x'=kx, y'=ky.

A retenir

Plan ax+by+cz+d=0 : n=(a;b;c)
Droite dans R³ : parametriques x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct
u.n=0 => droite || plan ; u.n≠0 => secante
Cercle : (x-a)²+(y-b)²=r² ; Sphere : meme +z
Position droite/cercle : comparer d au rayon r

Droites dans le plan

● Facile

Equat. cartesienne de la droite A(1;2), B(3;6).
y=3x+1 perpendiculaire a y=-x/3+2 ?
Intersection de y=2x-1 et y=-x+5.

Correction

m=2. y=2x. Forme : 2x-y=0.
m1×m2=3×(-1/3)=-1. Oui.
3x=6, x=2, y=3. Point (2;3).

Plans et droites dans l espace

● Moyen

Plan par A(1;2;3) de normale n=(2;-1;3). Equation.
Droite par B(2;0;1) de vecteur u=(1;2;-1). Parametriques.
Droite u=(1;1;0) et plan 2x+3y-z+1=0 : position relative.

Correction

2(x-1)-(y-2)+3(z-3)=0 → 2x-y+3z=9.
x=2+t, y=2t, z=1-t.
u.n=2+3+0=5≠0. Droite secante.

Cercle et sphere

● Moyen

Centre et rayon de x²+y²-6x+4y-3=0.
Equation de la sphere centre Omega(1;-1;2), rayon 4.
P(3;2;-1) est-il sur cette sphere ?

Correction

(x-3)²+(y+2)²=16. Centre (3;-2), rayon 4.
(x-1)²+(y+1)²+(z-2)²=16.
(3-1)²+(2+1)²+(-1-2)²=4+9+9=22≠16. Non.

Position droite-cercle

● Moyen

Cercle (C) centre Omega(3;1) rayon 5. Droite (d) : 3x+4y-25=0. (1) Distance Omega a (d). (2) Position relative. (3) Longueur de la corde.

Correction

(1) |9+4-25|/5=12/5=2,4. (2) 2,4<5 => secante. (3) Demi-corde=racine(25-5,76)=racine(19,24)≈4,39. Corde≈8,77.

Probleme — droite et plan dans l espace

● Difficile

Droite (d) : x=1+2t, y=2-t, z=3t. Plan (pi) : 2x-y+z-4=0. (1) Vecteur directeur et normale. Perpendiculaire ? (2) Point d intersection. (3) Distance de A(1;2;0) au plan.

Correction

(1) u=(2;-1;3), n=(2;-1;1). u=k.n? 2/2=1, -1/-1=1, 3/1=3 : non. u.n=4+1+3=8≠0. Secante (non perp). (2) Substituer: 2(1+2t)-(2-t)+(3t)-4=0 → 8t-4=0 → t=1/2. Point : (2;3/2;3/2). (3) |2-2+0-4|/racine(6)=4/racine(6)=2racine(6)/3.

QCM

10 questions

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Q1/10

Normal au plan 3x-2y+z=5 :

Q2/10

Parametrique droite R³ par A(1;0;2), u=(2;1;-1) : x= :

Q3/10

Sphere centre O rayon 3 :

Q4/10

Centre du cercle x²+y²-4x+6y+4=0 :

Q5/10

d=r (distance centre a droite = rayon) => droite :

Q6/10

m1×m2=-1 => droites :

Q7/10

Droite u=(1;0;0) et plan x+y+z=5, n=(1;1;1). u.n :

Q8/10

Equations parametriques d une droite R³ : nb d equations :

Q9/10

Droite 3x+4y-10=0 tangente au cercle centre O(0;0). Rayon = :

Q10/10

Image de (3;-2) par R(O,pi) :