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Accueil/ 5ème/ Mathématiques/ Ch. 02
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1. Division euclidienne

Pour a∈ℕ et b∈ℕ* : il existe des uniques q,r tels que a=b×q+r avec 0≤r<b.

q = quotient. r = reste. Si r=0 : b divise a.

Ex : 17=5×3+2 (dividende=17, diviseur=5, quotient=3, reste=2).

2. Puissances à exposant entier naturel

aᴺ = a×a×…×a (N fois). a⁰=1. a¹=a.

aᴺ×aᴹ=aᴺ⁺ᴹ. (aᴺ)ᴹ=aᴺᴹ. (a×b)ᴺ=aᴺ×bᴺ.

Décomposition : 2⁵=32. 3³=27. 5²=25. 10³=1000.

3. Fractions

Fraction p/q (p∈ℤ, q∈ℤ*). Fractions égales : p/q=r/s ⟺ ps=qr.

Simplification : p/q=(p÷d)/(q÷d) où d=PGCD(p,q).

Formes d'un rationnel : fraction, décimal fini, décimal périodique.

À retenir

  • a=bq+r avec 0≤r<b
  • aᴺ×aᴹ=aᴺ⁺ᴹ ; (aᴺ)ᴹ=aᴺᴹ
  • Simplifier p/q : diviser par PGCD(p,q)
1

Division euclidienne

● Facile

(1) 47÷6 (2) 100÷7 (3) 83÷12. Écrire sous la forme a=bq+r.

Correction

(1)47=6×7+5. (2)100=7×14+2. (3)83=12×6+11.

2

Puissances

● Moyen

(1)2⁶ (2)3⁴ (3)5³ (4)2³×2⁴ (5)(3²)³

Correction

(1)64 (2)81 (3)125 (4)2⁷=128 (5)3⁶=729.

3

Simplification de fractions

● Moyen

Simplifier au maximum : (1)12/18 (2)35/49 (3)24/40 (4)100/75

Correction

(1)2/3 (2)5/7 (3)3/5 (4)4/3

4

Égalité de fractions

● Moyen

(1)2/3 et 8/12 : égales ? (2)3/5 et 4/7 ? (3)Trouver x : x/4=6/8.

Correction

(1)2×12=24=3×8 ✓. (2)3×7=21≠5×4=20. Non. (3)x=3.

5

Division et PGCD

● Difficile

Simplifier 252/168. Utiliser PGCD(252,168) par Euclide.

Correction

252=168×1+84. 168=84×2+0. PGCD=84. 252/168=3/2.

★

Problème de synthèse

● Niveau BEPC

Une classe de 28 élèves passe une épreuve de 35 exercices.

  1. Diviser 28 par 5 : quotient et reste (groupes de 5).
  2. Diviser 35 exercices en 4 séries égales : division euclidienne.
  3. PGCD(28;35). Simplifier la fraction 28/35.
  4. Pourcentage d'élèves ayant réussi si 21/28 ont la moyenne.
  5. Écrire 21/28 sous forme simplifiée. Exprimer en décimal.
  6. 2⁵ exercices : combien ? Est-ce supérieur ou inférieur à 35 ?
Correction
  1. 28=5×5+3 : 5 groupes de 5 et 3 restants.
  2. 35=4×8+3 : 4 séries de 8 avec 3 exercices restants.
  3. 35=28×1+7. 28=7×4+0. PGCD=7. 28/35=4/5.
  4. 21/28=3/4=75%.
  5. 3/4=0,75.
  6. 2⁵=32<35. Inférieur.

QCM

0Score
0/10Repondues
Q1/10

17=5×3+2. Le reste est

Q2/10

Dans a=bq+r, r est toujours

Q3/10

2³×2⁴=

Q4/10

(3²)³=

Q5/10

Simplifier 12/18=

Q6/10

PGCD(12,18)=

Q7/10

2/3=8/? →

Q8/10

3⁰=

Q9/10

Simplifier 35/49=

Q10/10

(2×3)²=