f:E→F est linéaire si : f(λu+μv)=λf(u)+μf(v) pour tous u,v∈E, λ,μ∈ℝ.
Conséquences : f(0)=0. f(−u)=−f(u). f conserve les combinaisons linéaires.
Noyau : Ker(f)={u∈E : f(u)=0}. Ker(f) est un SEV de E.
Image : Im(f)={f(u) : u∈E}. Im(f) est un SEV de F.
Théorème du rang : dim(Ker f)+dim(Im f)=dim(E).
Le rang de f = dim(Im f).
Soit (e₁,...,eₙ) base de E et (f₁,...,fₘ) base de F. La matrice de f est la matrice M dont la j-ième colonne est le vecteur f(eⱼ) exprimé dans la base de F.
f(x) = M·x (multiplication matricielle).
Composition : g∘f → N·M. Inverse : f⁻¹ → M⁻¹ (si M inversible).
f:E→F est affine si f(x)=L(x)+b, où L est linéaire et b est un vecteur fixe.
L est appelée application linéaire associée à f.
Image d'une droite : une droite (ou un point si L=0). Image d'un plan : un plan, une droite ou un point.
Fixe de f : f(x)=x ⟺ L(x)=x−b. Le point fixe existe si 1 est valeur propre de L.
f:ℝ²→ℝ², f(x,y)=(x+y, 2x). Montrer que f est linéaire. Calculer sa matrice dans la base canonique.
f(λ(x,y)+μ(x',y'))=f(λx+μx',λy+μy')=(λx+μx'+λy+μy', 2λx+2μx')=λf(x,y)+μf(x',y') ✓. Matrice: colonnes=f(e₁)=(1,2) et f(e₂)=(1,0). M=[[1,1],[2,0]].
f:ℝ³→ℝ², f(x,y,z)=(x+y+z, x−y). Calculer Ker(f), Im(f) et vérifier le théorème du rang.
Ker: x+y+z=0 et x−y=0 → x=y et z=−2x. Ker=Vect{(1,1,−2)}. dim Ker=1. Im: f est surjectif (rang 2) → dim Im=2. Vérif: 1+2=3=dim(ℝ³) ✓.
f:ℝ²→ℝ², f(x,y)=(2x−y, x+3y). g(x,y)=(x+y, y). (1) Matrices M_f et M_g. (2) Matrice de g∘f.
M_f=[[2,−1],[1,3]]. M_g=[[1,1],[0,1]]. M_{g∘f}=M_g·M_f=[[2+1,−1+3],[1,3]]=[[3,2],[1,3]].
f:ℝ²→ℝ², f(x,y)=(x+1, −y+2). (1) Linéaire associée L. (2) Point fixe de f.
L(x,y)=(x,−y) (partie linéaire). Point fixe: f(x,y)=(x,y) → x+1=x (impossible?) Non: x+1=x → 1=0, pas de fixe pour x. −y+2=y → y=1. Contradiction pour x → pas de point fixe. Vérifier: f(x,y)=(x,y) → x+1=x impossible. Pas de point fixe pour cette application.
f:ℝ⁴→ℝ³ de matrice M=[[1,2,1,0],[0,1,1,1],[1,3,2,1]]. (1) Calculer le rang de M. (2) Dim du noyau. (3) Donner une base du noyau.
(1) L₃←L₃−L₁: [[1,2,1,0],[0,1,1,1],[0,1,1,1]]. L₃←L₃−L₂: [[1,2,1,0],[0,1,1,1],[0,0,0,0]]. rang=2. (2) dim Ker=4−2=2. (3) Noyau: x+2y+z=0 et y+z+t=0. Paramètres libres: z=s, t=u. y=−s−u, x=−2y−z=2s+2u−s=s+2u. Ker=Vect{(1,−1,1,0),(2,−1,0,1)}.
Soit f:ℝ³→ℝ³ l'application linéaire de matrice M = [[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1]] dans la base canonique.
10 questions · Correction immédiate
f linéaire → f(0)=
Théorème du rang : dim Ker f + dim Im f =
Ker(f) est un SEV de
Matrice M de f : j-ième colonne =
f bijective ⟺
Rang de f = dim
f affine : f(x)=L(x)+b. L est
Composition g∘f → matrice
f:ℝ⁴→ℝ³ de rang 3. dim Ker f =
f linéaire, dim Ker f=0 ⟺ f est
