(1) M'=(1,2,−3). (2) Matrice: [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,−1]]. (3) det=−1 → indirecte.

(1) R=[[0,−1,0],[1,0,0],[0,0,1]]. (2) RA=(0,1,3). (3) |RA|=√(0+1+9)=√10=|A| ✓.

(1) σ₁(x,y,z)=(x,y,−z). σ₂(x,y,z)=(−x,y,z). (σ₁∘σ₂)(x,y,z)=σ₁(−x,y,z)=(−x,y,−z). Matrice: [[−1,0,0],[0,1,0],[0,0,−1]]. det=1 → directe. Axe y invariant : (0,y,0)→(0,y,0) ✓. C'est une rotation d'axe Oy. Angle: rotation de π (la matrice correspond à r_y(π)).

(1) Oui : composée d'isométries directes. (2) f(x,y,z)=(x·cos(π/3)−y·sin(π/3), x·sin(π/3)+y·cos(π/3), z+2). Point fixe : z+2=z → impossible. Pas de point fixe (c'est bien un vissage).

(1) s(x,y,z)=(−x,−y,z) (symétrie axiale / Oz dans ℝ³). (2) [[−1,0,0],[0,−1,0],[0,0,1]]. (3) det=1 → directe! (Attention: sym/droite en 3D est directe.) (4) r(x,y,z)=(−x,−y,z)=s(x,y,z). Donc s=r (la symétrie axiale Oz est identique à la rotation π autour de Oz).

Le plan (P) a pour vecteur normal n(1,1,1), avec |n|²=3. Pour M(x,y,z), le projeté M' vérifie M'=M−[(x+y+z−3)/3]·n.

D'où l'expression analytique : M'( (2x−y−z+3)/3 ; (−x+2y−z+3)/3 ; (−x−y+2z+3)/3 ).

(D) passe par O et a pour vecteur directeur u(1,1,1), |u|²=3. Le projeté M' de M(x,y,z) sur (D) est M'=[(x+y+z)/3]·u.

D'où : M'( (x+y+z)/3 ; (x+y+z)/3 ; (x+y+z)/3 ). Le projeté reste bien sur (D), comme attendu.

(1) Les deux plans ont le même vecteur normal n(2,3,1) : ils sont parallèles.

(2) Une translation de vecteur v transforme (P) [n·X=−2] en (P′) [n·X=2] si et seulement si n·v=2−(−2)=4. En choisissant v colinéaire à n : v=k·n avec n·(k·n)=k(4+9+1)=14k=4, donc k=2/7, et v(4/7 ; 6/7 ; 2/7).

Pour tout point M : h₂∘h₁(M)=C+2(h₁(M)−C) avec h₁(M)=A+½(M−A). En développant, on obtient h₂∘h₁(M)=M+(1−k₂)(C−A) où k₁k₂=½×2=1 : le coefficient de M vaut 1, donc h₂∘h₁ est une translation, de vecteur A−C=(0,0,0)−(0,1,0)=(0,−1,0).

(1) AB=(2,4,2) et A′B′=(−4,−8,−4)=−2·AB : les vecteurs sont colinéaires, donc il existe une homothétie h de rapport k=−2 telle que A′=h(A) et B′=h(B). Son centre Ω vérifie A′−Ω=k(A−Ω), d'où Ω=(A′+2A)/3=((5,1,3)+(2,0,−2))/3=(7/3 ; 1/3 ; 1/3).

(2) h(O)=Ω+k(O−Ω)=(1−k)Ω=3Ω=(7,1,1).

1. Le vecteur directeur de (D) est u(1,−2,1), colinéaire au vecteur normal de (P), n(1,−2,1) : donc (D)⊥(P). En injectant x=3+λ, y=−1−2λ, z=2+λ dans x−2y+z=1 : (3+λ)−2(−1−2λ)+(2+λ)=1 → 7+6λ=1 → λ=−1, donc I(2 ; 1 ; 1).
2. Projeté sur (P) : A₁=A−[(n·A−1)/6]n. n·A=2+6+1=9, donc A₁=(2,−3,1)−(8/6)(1,−2,1)=(2/3 ; −1/3 ; −1/3). Projeté sur (D) : avec P₀(3,−1,2), t=(P₀A·u)/6=(−1+4−1)/6=1/3, donc A₂=P₀+t·u=(10/3 ; −5/3 ; 7/3).
3. On calcule AA₁=(−4/3,8/3,−4/3), A₁I=(4/3,4/3,4/3), IA₂=(4/3,−8/3,4/3), A₂A=(−4/3,−4/3,−4/3). Comme AA₁=−IA₂ et A₁I=−A₂A, AA₁IA₂ est un parallélogramme. De plus A₁A·A₁I=(4/3)(4/3)+(−8/3)(4/3)+(4/3)(4/3)=0 : l'angle en A₁ est droit. Un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle.

a) E, F, G ont tous z=1 : (EFG) est le plan z=1 (face supérieure). Réflexion : (x,y,z) → (x,y,2−z).

b) Plan (CDE) : avec DC=(1,0,0) et DE=(0,−1,1), la normale est n=DC×DE=(0,−1,−1), d'équation y+z=1 (vérifiée par C, D, E). Réflexion (|n|²=2) : (x,y,z) → (x, 1−z, 1−y).

Le plan médiateur de [AG] passe par le centre (0,5 ; 0,5 ; 0,5) avec pour normale AG(1,1,1) : équation x+y+z=1,5. Ce plan coupe six arêtes du cube (aucune ne passant par un sommet), aux milieux : (1;0,5;0), (0,5;1;0), (0;1;0,5), (0;0,5;1), (0,5;0;1), (1;0;0,5). En calculant les distances entre points consécutifs, on trouve toujours √2⁄2 : le polygone obtenu est un hexagone régulier.

1. Plan (ACE) : A(0,0,0), C(1,1,0), E(0,0,1) ⇒ normale (1,−1,0), équation x=y. s(x,y,z)=(y,x,z). Plan (CFH) : C(1,1,0), F(1,0,1), H(0,1,1) ⇒ normale (−1,−1,−1), équation x+y+z=2. s′(x,y,z)=( (x−2y−2z+4)/3 ; (−2x+y−2z+4)/3 ; (−2x−2y+z+4)/3 ).
2. Les normales (1,−1,0) et (1,1,1) vérifient (1)(1)+(−1)(1)+0(1)=0 : les plans sont perpendiculaires.
3. La composée s′∘s de deux réflexions par plans perpendiculaires est le demi-tour d'axe leur droite d'intersection. On calcule s′∘s(x,y,z)=s′(y,x,z)=( (y−2x−2z+4)/3 ; (x−2y−2z+4)/3 ; (−2x−2y+z+4)/3 ). On vérifie que cette expression fixe la droite {x=t, y=t, z=2−2t}, qui passe par C(1,1,0) (t=1) et I(0,5;0,5;1) (t=0,5) : c'est bien le demi-tour d'axe (CI).

On choisit un repère local avec H à l'origine et (Π) le plan z=0, de sorte que O(0,0,h) (h=OH>0) et l'axe (OH) est l'axe (Oz).

r(x,y,z)=(x,y,−z). s(x,y,z)=(−x,−y,2h−z). d(x,y,z)=(−x,−y,z). t(x,y,z)=(x,y,z−2h).

1. r∘s(x,y,z)=r(−x,−y,2h−z)=(−x,−y,z−2h). t∘d(x,y,z)=t(−x,−y,z)=(−x,−y,z−2h). Donc r∘s = t∘d.
2. s∘r(x,y,z)=s(x,y,−z)=(−x,−y,2h+z). Comme 2h+z≠z−2h en général, s∘r ≠ r∘s : s et r ne commutent pas. s∘r est la composée du demi-tour d et d'une translation de vecteur −2·OH (opposé à celui de t).

On a A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), et S est à la verticale du centre I(0,5;0,5;0) : S(0,5 ; 0,5 ; h).

1. Les plans (SAB) et (SCD) ont pour normales n₁=(0,−h,0,5) et n₂=(0,−h,−0,5) (produit vectoriel). La perpendicularité impose n₁·n₂=0 : h²−0,25=0, donc h=0,5. D'où S(0,5 ; 0,5 ; 0,5).
2. a) Plan (SAB) : équation y=z (contient A, B, S). Réflexion : (x,y,z)→(x,z,y). Images : S→S, A→A, B→B (sur le plan), C(1,1,0)→(1,0,1), D(0,1,0)→(0,0,1).
   b) Demi-tour d'axe (SA), de direction (1,1,1) passant par A : M'=(2(x+y+z)/3−x ; 2(x+y+z)/3−y ; 2(x+y+z)/3−z). Images : S→S, A→A, B(1,0,0)→(−1/3 ; 2/3 ; 2/3), C(1,1,0)→(1/3 ; 1/3 ; 4/3), D(0,1,0)→(2/3 ; −1/3 ; 2/3).
   c) Homothétie de centre S, rapport −2 : M'=3S−2M. Images : A→(1,5;1,5;1,5), B→(−0,5;1,5;1,5), C→(−0,5;−0,5;1,5), D→(1,5;−0,5;1,5).

On munit l'espace du repère (A ; AB, AC, AD) et on pose A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1) (AB=AC=AD=1, deux à deux orthogonales ; on vérifie BC=CD=DB=√2, donc BCD est équilatéral).

1. AB a pour direction (1,0,0), normale au plan (ACD) [plan x=0] : donc (AB)⊥(ACD).
2. Par symétrie des trois arêtes issues de A, échanger deux coordonnées laisse le solide invariant : 3 plans de symétrie (x=y, contenant A,D ; y=z, contenant A,B ; x=z, contenant A,C). Il existe aussi un axe de rotation d'ordre 3 passant par A, de direction (1,1,1), qui permute B→C→D→B.
3. a) Plan (BCD) : x+y+z=1. Réflexion : M−2[(x+y+z−1)/3](1,1,1). A(0,0,0)→(2/3;2/3;2/3) ; B, C, D fixes.
   b) Plan (ABC) : z=0. Réflexion (x,y,z)→(x,y,−z). A, B, C fixes ; D(0,0,1)→(0,0,−1).
   c) Demi-tour d'axe (AB) = axe (Ox) : (x,y,z)→(x,−y,−z). A, B fixes ; C(0,1,0)→(0,−1,0) ; D(0,0,1)→(0,0,−1).
   d) Demi-tour d'axe (CD), passant par C(0,1,0) de direction (0,−1,1) : C, D fixes ; A(0,0,0)→(0,1,1) ; B(1,0,0)→(−1,1,1).

On place O à l'origine, A(0,0,1), F(0,0,−1), B(1,0,0), C(0,1,0), D(−1,0,0), E(0,−1,0) (on vérifie AB=BC=...=√2 : toutes les faces sont équilatérales).

1. Trois plans « diagonaux » contenant 4 sommets sont des plans de symétrie : (ACFE) [x=0], (ABFD) [y=0], (BCDE) [z=0, la face carrée elle-même, qui échange A et F]. Il existe en outre 6 plans médiateurs passant par A et F (par exemple x=y, x=−y, et les analogues pour les deux autres axes), soit 9 plans de symétrie au total.
2. a) (AF) est l'axe (Oz). La rotation de 90° autour de (Oz) envoie B→C→D→E→B et fixe A, F : axe de symétrie d'ordre 4.
   b) I=milieu(A,B)=(0,5;0;0,5), J=milieu(D,F)=(−0,5;0;−0,5)=−I : (IJ) passe par O, direction (1,0,1). Le demi-tour d'axe (IJ), M'=2(M·û)û−M avec û=(1,0,1)/√2, envoie A↔B, D↔F, C↔E : c'est un axe de symétrie d'ordre 2.
3. G=(A+B+E)/3=(1/3;−1/3;1/3), G′=(C+D+F)/3=(−1/3;1/3;−1/3)=−G. a) Le milieu de [GG′] est donc O. La direction GG′ est colinéaire à (1,−1,1), qui est aussi la normale des plans (ABE) et (CDF) (calculée par produit vectoriel) : (GG′) est orthogonale aux deux plans.
   b) (GG′) est un axe de rotation d'ordre 3 (rotation de 120° autour de la droite joignant les centres de deux faces opposées) : c'est bien un axe de symétrie, mais d'ordre 3 (passant par des centres de faces), différent de celui de la question 2.

s₁ : réflexion de plan x=0,5 → (x,y,z)→(1−x,y,z). s₂ : plan y=0,5 → (x,y,z)→(x,1−y,z). s₃ : plan z=0,5 → (x,y,z)→(x,y,1−z). (K_A)=[0;0,5]³.

1. s₁(K_A)=(K_B). s₂(K_A)=(K_D). s₃(K_A)=(K_E).
2. Les plans x=0,5 et y=0,5 sont perpendiculaires : s₁∘s₂ est le demi-tour d'axe {x=0,5 ; y=0,5} (parallèle à (AE), passant par O) : (x,y,z)→(1−x,1−y,z) ; image de (K_A)=(K_C). De même s₂∘s₃ est le demi-tour d'axe {y=0,5 ; z=0,5} (parallèle à (AB)) : (x,y,z)→(x,1−y,1−z) ; image de (K_A)=(K_H). Et s₃∘s₁ est le demi-tour d'axe {x=0,5 ; z=0,5} (parallèle à (AD)) : (x,y,z)→(1−x,y,1−z) ; image de (K_A)=(K_F).
3. a) s(x,y,z)=(1−x,1−y,1−z) : c'est la symétrie centrale de centre O (composée de trois réflexions par plans deux à deux perpendiculaires passant par O).
   b) A(0,0,0)→G(1,1,1). B(1,0,0)→H(0,1,1). C(1,1,0)→E(0,0,1). O(0,5;0,5;0,5)→O (fixe).

1. Soit σ la symétrie centrale de centre O : dans un repère (O ; i,j,k), σ(x,y,z)=(−x,−y,−z). En notant s_x, s_y, s_z les réflexions par rapport aux plans x=0, y=0, z=0 (deux à deux perpendiculaires, sécants en O), on a s_z∘s_y∘s_x(x,y,z)=(−x,−y,−z)=σ(x,y,z). Donc σ=s_z∘s_y∘s_x : toute symétrie centrale est la composée de trois réflexions par plans deux à deux perpendiculaires passant par son centre (ces réflexions commutent deux à deux, donc l'ordre importe peu).
2. s₀(x,y,z)=(1−x,1−y,1−z). Le plan (AOC) a pour équation y=x (il contient aussi E et G) : s_(AOC)(x,y,z)=(y,x,z).
   a) s₀∘s_(AOC)(x,y,z)=s₀(y,x,z)=(1−y,1−x,1−z). s_(AOC)∘s₀(x,y,z)=s_(AOC)(1−x,1−y,1−z)=(1−y,1−x,1−z). Les deux composées coïncident : c'est le demi-tour d'axe la droite passant par O, orthogonale au plan (AOC) (direction (1,−1,0)) — les points fixes forment la droite x+y=1, z=0,5.
   b) s_(AG)(x,y,z)=(2S/3−x ; 2S/3−y ; 2S/3−z) avec S=x+y+z (demi-tour d'axe (AG), qui passe par O puisque O est le milieu de [AG]). On calcule s₀∘s_(AG)(x,y,z)=(x,y,z)+(1−2S/3)(1,1,1), qui fixe exactement les points du plan x+y+z=1,5 : c'est la réflexion de plan médiateur de [AG]. Le même calcul donne s_(AG)∘s₀ = même résultat, les deux composées coïncidant à nouveau (car (AG) passe par le centre O de s₀).