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Accueil/ Terminale/ Série C/ Mathématiques/ Ch. 05
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1. Isométries de l'espace

Classification

Une isométrie de l'espace est une bijection qui conserve les distances.

• Directes (déterminant +1) : translation, rotation, vissage.

• Indirectes (déterminant −1) : symétrie par rapport à un plan, symétrie par rapport à une droite, rotation rotoïdale.

2. Symétries orthogonales

Par rapport à un plan

Symétrie par rapport au plan P : M → M' tel que le milieu de [MM'] est sur P et MM' ⊥ P.

Matriciellement (plan Oxy, axe Oz) : (x,y,z) → (x,y,−z).

Par rapport à une droite

Symétrie par rapport à la droite D : M → M' tel que D est médiatrice de [MM'] dans tout plan ⊥ D.

Résultat : isométrie indirecte (déterminant −1 en 3D).

3. Rotation dans l'espace

Définition

Rotation d'axe D (droite orientée) et d'angle θ : fixe tous les points de D, rotation d'angle θ dans chaque plan ⊥ D.

Matrice (axe Oz) : R_z(θ) = [[cosθ,−sinθ,0],[sinθ,cosθ,0],[0,0,1]].

Composée de deux symétries par rapport à des plans sécants d'angle α → rotation d'angle 2α autour de leur droite d'intersection.

4. Vissage

Définition

Un vissage (ou hélicoïdale) est la composée d'une rotation d'axe D et d'angle θ et d'une translation de vecteur parallèle à D.

Tout vissage est une isométrie directe. Seul isométrie directe sans point fixe (si translation ≠ 0).

🧠 À retenir

  • Isométrie directe : translation, rotation, vissage
  • Isométrie indirecte : sym/plan, sym/droite
  • 2 sym. par rapport à des plans sécants (angle α) → rotation 2α
  • Rotation axe Oz : matrice 3×3 avec cosθ, sinθ
  • Vissage = rotation + translation parallèle à l'axe
1

Symétrie par rapport à un plan

● Facile

s = symétrie par rapport au plan z=0 (plan Oxy). (1) Image de M(1,2,3). (2) Matrice de s. (3) s est-elle directe ou indirecte ?

Correction

(1) M'=(1,2,−3). (2) Matrice: [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,−1]]. (3) det=−1 → indirecte.

2

Rotation dans l'espace

● Moyen

Rotation d'axe Oz, angle π/2. (1) Matrice R. (2) Image de A(1,0,3). (3) Vérifier |RA|=|A|.

Correction

(1) R=[[0,−1,0],[1,0,0],[0,0,1]]. (2) RA=(0,1,3). (3) |RA|=√(0+1+9)=√10=|A| ✓.

3

Composée de deux symétries

● Moyen

P₁ = plan xOy (z=0) et P₂ = plan yOz (x=0). (1) σ₁∘σ₂ : identifier la transformation. (2) Axe et angle.

Correction

(1) σ₁(x,y,z)=(x,y,−z). σ₂(x,y,z)=(−x,y,z). (σ₁∘σ₂)(x,y,z)=σ₁(−x,y,z)=(−x,y,−z). Matrice: [[−1,0,0],[0,1,0],[0,0,−1]]. det=1 → directe. Axe y invariant : (0,y,0)→(0,y,0) ✓. C'est une rotation d'axe Oy. Angle: rotation de π (la matrice correspond à r_y(π)).

4

Vissage

● Moyen

f = rotation d'axe Oz, angle π/3, suivie d'une translation de vecteur (0,0,2). (1) f est-il une isométrie ? (2) Y a-t-il un point fixe ?

Correction

(1) Oui : composée d'isométries directes. (2) f(x,y,z)=(x·cos(π/3)−y·sin(π/3), x·sin(π/3)+y·cos(π/3), z+2). Point fixe : z+2=z → impossible. Pas de point fixe (c'est bien un vissage).

5

Symétrie par rapport à une droite

● Difficile

s = symétrie par rapport à la droite Oz (l'axe z). (1) Exprimer s(x,y,z). (2) Matrice. (3) Caractère direct/indirect. (4) Composée s∘r où r est la rotation d'angle π autour de Oz.

Correction

(1) s(x,y,z)=(−x,−y,z) (symétrie axiale / Oz dans ℝ³). (2) [[−1,0,0],[0,−1,0],[0,0,1]]. (3) det=1 → directe! (Attention: sym/droite en 3D est directe.) (4) r(x,y,z)=(−x,−y,z)=s(x,y,z). Donc s=r (la symétrie axiale Oz est identique à la rotation π autour de Oz).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Un cube ABCDEFGH a pour sommets : A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1).

  1. Symétrie par rapport au plan médiateur de [AG] : Ce plan passe par le centre (1/2,1/2,1/2) avec normale (1,1,1). Exprimer l'image de A et de G.
  2. Rotation d'axe AG, angle 2π/3 : Montrer que cette rotation permute cycliquement B, D, E. (Vérifier sur B.)
  3. Axe de symétrie : Vérifier que la diagonale AG est un axe de symétrie d'ordre 3 du cube (rotation d'angle 2π/3).
  4. Plan de symétrie : Le plan x=y est-il un plan de symétrie du cube ?
  5. Nombre de symétries : Le groupe des isométries du cube a 48 éléments. Parmi elles : 1 identité, __ rotations, __ réflexions. Donner le nombre de rotations non triviales.
  6. Vissage : La composée de la rotation 2π/3 autour de AG et d'une translation parallèle à AG est-elle un vissage ? Justifier.
Correction du problème de synthèse
  1. A(0,0,0) → symétrie/plan médiateur de AG → G(1,1,1). G → A. ✓
  2. Rotation 2π/3 autour de AG. La droite AG a direction (1,1,1)/√3. La rotation de 2π/3 autour de (1,1,1) permute circulairement les axes : x→y→z→x. B(1,0,0) → (0,1,0)=D ✓. D(0,1,0) → (0,0,1)=E. E(0,0,1) → (1,0,0)=B.
  3. La rotation d'angle 2π/3 autour de AG envoie le cube sur lui-même (permute les sommets). AG est bien un axe d'ordre 3.
  4. Le plan x=y : réflexion (x,y,z)→(y,x,z). Vérifions sur les sommets: A(0,0,0)→A ✓, B(1,0,0)→D(0,1,0) ✓ (D est sommet), etc. Oui, c'est un plan de symétrie.
  5. Le cube a 23 rotations non triviales (total 24 avec l'identité). 48−24=24 isométries indirectes.
  6. Oui, c'est un vissage : rotation d'axe AG + translation ∥ AG. Le résultat est une isométrie directe sans point fixe si la translation est non nulle.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Isométrie directe de l'espace : déterminant =

Q2/10

Symétrie par rapport au plan z=0 : (x,y,z)→

Q3/10

2 symétries de plans sécants d'angle α →

Q4/10

Matrice rotation axe Oz, angle π/2 :

Q5/10

Vissage = rotation + translation

Q6/10

Symétrie axiale (par rapport à une droite) en 3D est

Q7/10

Vissage : y a-t-il un point fixe ?

Q8/10

Rotation d'axe Oz, angle 0 =

Q9/10

Composée de deux symétries planes ∥ (distance d) →

Q10/10

Le groupe des isométries du cube a