Ch. 06 Angles orientés et configurations de l'espace — Terminale C Mathématiques

1. Angles orientés

Définition

L'angle orienté de deux vecteurs non nuls u et v est la mesure (modulo 2π) de la rotation qui envoie u sur v.

On note (u,v) ou arg(z_v/z_u) (en termes d'affixes).

Propriétés : (u,v)=−(v,u). (u,v)+(v,w)=(u,w). (u,u)=0.

Angles de couples de droites

L'angle orienté de deux droites D₁ et D₂ est défini modulo π (demi-tour).

D₁ ∥ D₂ ⟺ angle=0 [π]. D₁ ⊥ D₂ ⟺ angle=π/2 [π].

2. Points cocycliques

Critère

Quatre points A, B, C, D sont cocycliques (sur un même cercle) ou alignés (3 d'entre eux) si et seulement si :

(AB,AC) = (DB,DC) [modulo π] (angles inscrits interceptant le même arc BC).

Ou de façon équivalente : arg((z_C−z_A)/(z_B−z_A)) = arg((z_C−z_D)/(z_B−z_D)) [mod π].

3. Cercle capable

Définition

Le cercle capable d'un segment [AB] sous un angle α est le lieu des points M tels que l'angle ∠AMB = α.

Ce lieu est formé de deux arcs de cercles symétriques par rapport à AB.

Application : trouver tous les points d'où un segment subtend un angle donné.

4. Sections planes d'un cône

Coniques

Un cône circulaire coupé par un plan donne selon l'inclinaison :

• Plan ⊥ axe → cercle.

• Plan oblique (angle > demi-angle du cône) → ellipse.

• Plan ∥ à une génératrice → parabole.

• Plan coupant les deux nappes → hyperbole.

Ces quatre courbes ont des propriétés focus-directrice : e=d(M,F)/d(M,D). e<1 ellipse, e=1 parabole, e>1 hyperbole.

🧠 À retenir

(u,v)+(v,w)=(u,w) [mod 2π] — relation de Chasles des angles
Cocycliques ⟺ (AB,AC)=(DB,DC) [mod π]
Cercle capable : lieu des points sous angle constant
Coniques : cercle, ellipse, parabole, hyperbole selon l'angle de coupe
Excentricité e : e<1 ellipse, e=1 parabole, e>1 hyperbole

Angles orientés — calcul

● Facile

u=(1,0), v=(0,1), w=(−1,0). Calculer (u,v), (v,w), (u,w) et vérifier la relation de Chasles.

Correction

(u,v)=π/2. (v,w)=π/2. (u,w)=π. (u,v)+(v,w)=π=(u,w) ✓.

Points cocycliques

● Moyen

A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3). Montrer que A,B,C,D sont cocycliques.

Correction

Méthode : AC est un diamètre? |AC|=5. |AB|=4, |BC|=3. AB²+BC²=25=AC² → angle en B = π/2. Angle inscrit dans un demi-cercle de diamètre AC : tout point M sur le cercle de diamètre AC voit AC sous π/2. Vérifier D : AD=3, DC=4, AC=5. AD²+DC²=9+16=25=AC² → angle en D = π/2 aussi. Donc B et D sont sur le cercle de diamètre AC. A,B,C,D cocycliques.

Cercle capable

● Moyen

Trouver le lieu des points M tels que ∠AMB=π/4 avec A(−1,0) et B(1,0).

Correction

Cercle capable de [AB] sous angle π/4. Relation : l'angle au centre est 2α=π/2. Centre sur la médiatrice x=0. Distance OA au centre c : sin(π/4)=|AB|/(2R)... R=|AB|/(2sinα)=2/(2·(√2/2))=√2. Centre sur Oy à distance d(O,axe)=Rcosα=√2·cos(π/4)=1. Deux arcs : centres (0,1) et (0,−1), rayon √2.

Identification de coniques

● Moyen

Identifier la courbe : (1) 4x²+9y²=36. (2) y²=8x. (3) x²−y²=1. (4) x²+y²=9.

Correction

(1) x²/9+y²/4=1 → ellipse demi-axes 3 et 2. (2) parabole de paramètre p=2 (foyer (2,0)). (3) x²−y²=1 → hyperbole demi-axes 1 et 1. (4) cercle centre O, rayon 3.

Foyer et directrice

● Difficile

Ellipse d'équation x²/25+y²/9=1. (1) Demi-axes a et b. (2) Demi-distance focale c. (3) Foyers et excentricité e.

Correction

(1) a=5, b=3. (2) c=√(a²−b²)=√(25−9)=4. (3) Foyers F(±4,0). e=c/a=4/5<1 (ellipse ✓).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle (cocyclique). Les affixes sont z_A=0, z_B=4, z_C=4+3i, z_D=di (d réel, d>0).

Argument : Calculer arg((z_C−z_A)/(z_B−z_A)) et arg((z_C−z_D)/(z_B−z_D)).
Condition de cocyclicité : Pour que ABCD soit inscrit dans un cercle, ces deux arguments doivent être égaux modulo π. En déduire d.
Cercle circonscrit : Trouver le centre et le rayon du cercle circonscrit à A, B, C.
Vérification : Montrer que D (avec la valeur trouvée) est bien sur ce cercle.
Angle inscrit : Calculer l'angle ∠BAC (angle inscrit subtendant BC).
Conique : Si on projette le cercle par une affinité de rapport k=3/5 suivant l'axe Oy, quelle courbe obtient-on ? Donner son équation.

Correction du problème de synthèse

(z_C−z_A)/(z_B−z_A)=(4+3i)/4=1+3i/4. arg=arctan(3/4). (z_C−z_D)/(z_B−z_D)=(4+3i−di)/(4−di)=(4+(3−d)i)/(4−di). arg=arctan((3−d)/4)+arctan(d/4)... Calculer le produit: pour que les arg soient égaux mod π, le quotient doit être réel.
(4+(3−d)i)/(4−di) réel ⟺ Im[(4+(3−d)i)(4+di)]=0. Im[16+4di+4(3−d)i+(3−d)di²]=Im[16+(4d+12−4d)i−(3−d)d]=Im[16+(12)i−d(3−d)]. Im=12. Jamais nul? Recalculer: (4+(3−d)i)(4+di)=(16+4di+4(3−d)i+i²d(3−d))=(16−d(3−d))+(4d+4(3−d))i=(16−3d+d²)+(12)i. Pour être réel: Im=12=0. Impossible! Vérification de l'approche: utiliser le critère des angles. Les 4 points sont cocycliques ssi l'angle ∠ABD=∠ACD. Essayons: pour d=3, D=(0,3). Cercle passant par A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3): c'est le rectangle de largeur 4 et hauteur 3 inscrit dans un cercle de diamètre 5 centré en (2,3/2). d=3.
Centre=(2,3/2). Rayon=5/2.
|D−centre|=|(0,3)−(2,3/2)|=|(-2,3/2)|=√(4+9/4)=√(25/4)=5/2=R ✓.
∠BAC=angle inscrit subtendant BC. BC=3 (vertical). arc BC correspond à angle central 2∠BAC. tan(∠BAC)=BC/AB... arg((z_C−z_A)/(z_B−z_A))=arg((4+3i)/4)=arctan(3/4). ∠BAC=arctan(3/4)≈36,87°.
Cercle x²+y²=R²→(x−2)²+(y−3/2)²=(5/2)². Affinité (x,y)→(x,(3/5)y). Substituer y'=(3/5)y → y=(5/3)y'. (x−2)²+((5/3)y'−3/2)²=25/4. Ellipse d'axes a=5/2 et b=(3/5)·(5/2)=3/2.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

(u,v)+(v,w) =

Q2/10

Critère de cocyclicité : A,B,C,D cocycliques ⟺

Q3/10

Le cercle capable de [AB] sous angle α est le lieu des M avec

Q4/10

Excentricité e=1 → la conique est

Q5/10

x²/a²+y²/b²=1 avec a>b>0 est

Q6/10

Section plane parallèle à une génératrice du cône →

Q7/10

(u,v)=−(v,u) est la propriété de

Q8/10

Foyers de l'ellipse x²/25+y²/9=1 :

Q9/10

y²=4px est

Q10/10

Section plane ⊥ à l'axe du cône →