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Accueil/ Terminale/ Série C/ Mathématiques/ Ch. 06
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1. Angles orientés

Définition

L'angle orienté de deux vecteurs non nuls u et v est la mesure (modulo 2π) de la rotation qui envoie u sur v.

On note (u,v) ou arg(z_v/z_u) (en termes d'affixes).

Propriétés : (u,v)=−(v,u). (u,v)+(v,w)=(u,w). (u,u)=0.

Angles de couples de droites

L'angle orienté de deux droites D₁ et D₂ est défini modulo π (demi-tour).

D₁ ∥ D₂ ⟺ angle=0 [π]. D₁ ⊥ D₂ ⟺ angle=π/2 [π].

2. Points cocycliques

Critère

Quatre points A, B, C, D sont cocycliques (sur un même cercle) ou alignés (3 d'entre eux) si et seulement si :

(AB,AC) = (DB,DC) [modulo π] (angles inscrits interceptant le même arc BC).

Ou de façon équivalente : arg((z_C−z_A)/(z_B−z_A)) = arg((z_C−z_D)/(z_B−z_D)) [mod π].

3. Cercle capable

Définition

Le cercle capable d'un segment [AB] sous un angle α est le lieu des points M tels que l'angle ∠AMB = α.

Ce lieu est formé de deux arcs de cercles symétriques par rapport à AB.

Application : trouver tous les points d'où un segment subtend un angle donné.

4. Sections planes d'un cône

Coniques

Un cône circulaire coupé par un plan donne selon l'inclinaison :

• Plan ⊥ axe → cercle.

• Plan oblique (angle > demi-angle du cône) → ellipse.

• Plan ∥ à une génératrice → parabole.

• Plan coupant les deux nappes → hyperbole.

Ces quatre courbes ont des propriétés focus-directrice : e=d(M,F)/d(M,D). e<1 ellipse, e=1 parabole, e>1 hyperbole.

🧠 À retenir

  • (u,v)+(v,w)=(u,w) [mod 2π] — relation de Chasles des angles
  • Cocycliques ⟺ (AB,AC)=(DB,DC) [mod π]
  • Cercle capable : lieu des points sous angle constant
  • Coniques : cercle, ellipse, parabole, hyperbole selon l'angle de coupe
  • Excentricité e : e<1 ellipse, e=1 parabole, e>1 hyperbole
1

Angles orientés — calcul

● Facile

u=(1,0), v=(0,1), w=(−1,0). Calculer (u,v), (v,w), (u,w) et vérifier la relation de Chasles.

Correction

(u,v)=π/2. (v,w)=π/2. (u,w)=π. (u,v)+(v,w)=π=(u,w) ✓.

2

Points cocycliques

● Moyen

A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3). Montrer que A,B,C,D sont cocycliques.

Correction

Méthode : AC est un diamètre? |AC|=5. |AB|=4, |BC|=3. AB²+BC²=25=AC² → angle en B = π/2. Angle inscrit dans un demi-cercle de diamètre AC : tout point M sur le cercle de diamètre AC voit AC sous π/2. Vérifier D : AD=3, DC=4, AC=5. AD²+DC²=9+16=25=AC² → angle en D = π/2 aussi. Donc B et D sont sur le cercle de diamètre AC. A,B,C,D cocycliques.

3

Cercle capable

● Moyen

Trouver le lieu des points M tels que ∠AMB=π/4 avec A(−1,0) et B(1,0).

Correction

Cercle capable de [AB] sous angle π/4. Relation : l'angle au centre est 2α=π/2. Centre sur la médiatrice x=0. Distance OA au centre c : sin(π/4)=|AB|/(2R)... R=|AB|/(2sinα)=2/(2·(√2/2))=√2. Centre sur Oy à distance d(O,axe)=Rcosα=√2·cos(π/4)=1. Deux arcs : centres (0,1) et (0,−1), rayon √2.

4

Identification de coniques

● Moyen

Identifier la courbe : (1) 4x²+9y²=36. (2) y²=8x. (3) x²−y²=1. (4) x²+y²=9.

Correction

(1) x²/9+y²/4=1 → ellipse demi-axes 3 et 2. (2) parabole de paramètre p=2 (foyer (2,0)). (3) x²−y²=1 → hyperbole demi-axes 1 et 1. (4) cercle centre O, rayon 3.

5

Foyer et directrice

● Difficile

Ellipse d'équation x²/25+y²/9=1. (1) Demi-axes a et b. (2) Demi-distance focale c. (3) Foyers et excentricité e.

Correction

(1) a=5, b=3. (2) c=√(a²−b²)=√(25−9)=4. (3) Foyers F(±4,0). e=c/a=4/5<1 (ellipse ✓).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle (cocyclique). Les affixes sont z_A=0, z_B=4, z_C=4+3i, z_D=di (d réel, d>0).

  1. Argument : Calculer arg((z_C−z_A)/(z_B−z_A)) et arg((z_C−z_D)/(z_B−z_D)).
  2. Condition de cocyclicité : Pour que ABCD soit inscrit dans un cercle, ces deux arguments doivent être égaux modulo π. En déduire d.
  3. Cercle circonscrit : Trouver le centre et le rayon du cercle circonscrit à A, B, C.
  4. Vérification : Montrer que D (avec la valeur trouvée) est bien sur ce cercle.
  5. Angle inscrit : Calculer l'angle ∠BAC (angle inscrit subtendant BC).
  6. Conique : Si on projette le cercle par une affinité de rapport k=3/5 suivant l'axe Oy, quelle courbe obtient-on ? Donner son équation.
Correction du problème de synthèse
  1. (z_C−z_A)/(z_B−z_A)=(4+3i)/4=1+3i/4. arg=arctan(3/4). (z_C−z_D)/(z_B−z_D)=(4+3i−di)/(4−di)=(4+(3−d)i)/(4−di). arg=arctan((3−d)/4)+arctan(d/4)... Calculer le produit: pour que les arg soient égaux mod π, le quotient doit être réel.
  2. (4+(3−d)i)/(4−di) réel ⟺ Im[(4+(3−d)i)(4+di)]=0. Im[16+4di+4(3−d)i+(3−d)di²]=Im[16+(4d+12−4d)i−(3−d)d]=Im[16+(12)i−d(3−d)]. Im=12. Jamais nul? Recalculer: (4+(3−d)i)(4+di)=(16+4di+4(3−d)i+i²d(3−d))=(16−d(3−d))+(4d+4(3−d))i=(16−3d+d²)+(12)i. Pour être réel: Im=12=0. Impossible! Vérification de l'approche: utiliser le critère des angles. Les 4 points sont cocycliques ssi l'angle ∠ABD=∠ACD. Essayons: pour d=3, D=(0,3). Cercle passant par A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3): c'est le rectangle de largeur 4 et hauteur 3 inscrit dans un cercle de diamètre 5 centré en (2,3/2). d=3.
  3. Centre=(2,3/2). Rayon=5/2.
  4. |D−centre|=|(0,3)−(2,3/2)|=|(-2,3/2)|=√(4+9/4)=√(25/4)=5/2=R ✓.
  5. ∠BAC=angle inscrit subtendant BC. BC=3 (vertical). arc BC correspond à angle central 2∠BAC. tan(∠BAC)=BC/AB... arg((z_C−z_A)/(z_B−z_A))=arg((4+3i)/4)=arctan(3/4). ∠BAC=arctan(3/4)≈36,87°.
  6. Cercle x²+y²=R²→(x−2)²+(y−3/2)²=(5/2)². Affinité (x,y)→(x,(3/5)y). Substituer y'=(3/5)y → y=(5/3)y'. (x−2)²+((5/3)y'−3/2)²=25/4. Ellipse d'axes a=5/2 et b=(3/5)·(5/2)=3/2.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

(u,v)+(v,w) =

Q2/10

Critère de cocyclicité : A,B,C,D cocycliques ⟺

Q3/10

Le cercle capable de [AB] sous angle α est le lieu des M avec

Q4/10

Excentricité e=1 → la conique est

Q5/10

x²/a²+y²/b²=1 avec a>b>0 est

Q6/10

Section plane parallèle à une génératrice du cône →

Q7/10

(u,v)=−(v,u) est la propriété de

Q8/10

Foyers de l'ellipse x²/25+y²/9=1 :

Q9/10

y²=4px est

Q10/10

Section plane ⊥ à l'axe du cône →

1

Mesures principales d'angles orientés

● Facile

Déterminer la mesure principale (dans l'intervalle ]−π,π]) de chacun des angles orientés suivants :

  1. θ₁ = 17π/4
  2. θ₂ = −25π/6
  3. θ₃ = 100π/3
  4. θ₄ = 7π (cet angle correspond-il à une mesure nulle ?)
Correction
  1. 17π/4 = 4π + π/4, donc en retranchant 2×2π on obtient la mesure principale π/4.
  2. −25π/6 + 6π = −25π/6+36π/6 = 11π/6, qui n'est pas dans ]−π,π] ; on retranche 2π : 11π/6−12π/6 = −π/6. Mesure principale : −π/6.
  3. 100π/3 − 32π = 100π/3−96π/3 = 4π/3, non principal ; on retranche 2π : 4π/3−6π/3=−2π/3. Mesure principale : −2π/3.
  4. 7π − 6π = π. La mesure principale est π (angle plat) : ce n'est pas une mesure nulle, même si 7π est un multiple impair de π.
2

Relation de Chasles pour les angles orientés

● Facile

Soit u, v, w, t quatre vecteurs non nuls du plan tels que (u,v) = 2π/3 [2π] et (v,w) = −3π/4 [2π].

  1. Calculer (u,w) [2π] (donner la mesure principale).
  2. Calculer (w,u) [2π].
  3. Sachant de plus que (w,t) = π/6 [2π], calculer (u,t) [2π].
Correction
  1. Par la relation de Chasles : (u,w) = (u,v)+(v,w) = 2π/3−3π/4 = 8π/12−9π/12 = −π/12.
  2. Par antisymétrie : (w,u) = −(u,w) = π/12.
  3. (u,t) = (u,w)+(w,t) = −π/12+2π/12 = π/12.
3

Angle orienté de deux vecteurs par les affixes

● Moyen

Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes respectives z_A = 1+i, z_B = 4+5i, z_C = −3+4i.

  1. Calculer les affixes des vecteurs AB et AC.
  2. En déduire une mesure de l'angle orienté (AB,AC) à l'aide de l'argument du quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A).
  3. Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifier.
Correction
  1. z_AB = z_B−z_A = 3+4i. z_AC = z_C−z_A = −4+3i.
  2. (z_C−z_A)/(z_B−z_A) = (−4+3i)/(3+4i) = (−4+3i)(3−4i)/25 = (−12+16i+9i−12i²)/25 = (−12+25i+12)/25 = 25i/25 = i. Or arg(i)=π/2 [2π], donc (AB,AC) = π/2 [2π].
  3. Comme (AB,AC)=π/2, les vecteurs AB et AC sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.
4

Angle inscrit et angle au centre

● Moyen

Un cercle de centre O passe par les points A, B et M, où M appartient au grand arc AB. On donne l'angle au centre ∠AOB = 2π/3 (angle géométrique interceptant le petit arc AB).

  1. Rappeler le théorème de l'angle inscrit reliant ∠AMB à ∠AOB.
  2. En déduire la mesure de l'angle inscrit ∠AMB.
  3. Un point N, distinct de M, est situé sur le même arc que M. Que vaut ∠ANB ? Justifier à l'aide du critère de cocyclicité vu en cours.
  4. Un point M' est situé sur le petit arc AB (l'arc opposé). Quelle relation relie ∠AM'B et ∠AMB ? En déduire ∠AM'B.
Correction
  1. Théorème de l'angle inscrit : un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc : ∠AMB = ∠AOB/2.
  2. ∠AMB = (2π/3)/2 = π/3.
  3. D'après le critère de cocyclicité (A,B,M,N sont cocycliques et interceptent le même arc AB), on a (MA,MB)=(NA,NB) [π], donc ∠ANB = ∠AMB = π/3.
  4. Deux points situés sur des arcs opposés déterminés par [AB] voient ce segment sous des angles supplémentaires : ∠AM'B + ∠AMB = π. Donc ∠AM'B = π−π/3 = 2π/3.
5

Applications combinées de la relation de Chasles

● Moyen

Soit u, v, w, t quatre vecteurs non nuls du plan tels que (u,v) = π/3 [2π], (v,w) = π/4 [2π] et (w,t) = −5π/6 [2π].

  1. Calculer (u,t) [2π] (mesure principale).
  2. Calculer (t,u) [2π].
  3. Démontrer que, pour trois vecteurs non nuls quelconques u, v, w, on a (u,v)+(v,w)+(w,u) = 0 [2π].
Correction
  1. (u,t) = (u,v)+(v,w)+(w,t) = π/3+π/4−5π/6 = 4π/12+3π/12−10π/12 = −3π/12 = −π/4.
  2. (t,u) = −(u,t) = π/4.
  3. Par la relation de Chasles, (u,v)+(v,w) = (u,w). Donc (u,v)+(v,w)+(w,u) = (u,w)+(w,u). Or, par antisymétrie, (w,u) = −(u,w). La somme vaut donc (u,w)−(u,w) = 0 [2π]. C.Q.F.D.
1

Triangle équilatéral direct : angles et rotation associée

● Moyen

Soit ABC un triangle équilatéral direct, de centre de gravité G (confondu avec le centre du cercle circonscrit).

  1. Justifier que (AB,AC) = π/3 [2π].
  2. Soit r la rotation de centre G et d'angle 2π/3. Montrer que r(A)=B, r(B)=C et r(C)=A.
  3. En déduire les mesures des angles orientés (GA,GB), (GB,GC) et (GC,GA).
  4. À l'aide du théorème de l'angle inscrit, retrouver la mesure de l'angle inscrit ∠BAC à partir de l'angle au centre (GB,GC), et vérifier la cohérence avec le résultat de la question 1.
Correction
  1. Le triangle équilatéral direct ABC a ses trois angles géométriques égaux à π/3, et l'orientation directe (sens trigonométrique) donne (AB,AC) = +π/3 [2π].
  2. G, isobarycentre du triangle équilatéral, est aussi le centre du cercle circonscrit : GA=GB=GC=R. Les trois sommets sont régulièrement répartis sur ce cercle, séparés de 2π/3 dans le sens direct puisque ABC est direct. La rotation r de centre G et d'angle 2π/3 conserve la distance à G ; elle envoie donc A sur l'unique point du cercle à distance R de G obtenu en tournant de 2π/3 dans le sens direct, c'est-à-dire B. De même r(B)=C et r(C)=A.
  3. r(A)=B avec r d'angle 2π/3 donne (GA,GB) = 2π/3 [2π]. De même (GB,GC) = 2π/3 [2π] et (GC,GA) = 2π/3 [2π] (la somme des trois vaut 2π = 0 [2π], conformément à la relation de Chasles).
  4. L'angle au centre associé à l'arc BC ne contenant pas A est (GB,GC) = 2π/3. Le théorème de l'angle inscrit donne ∠BAC = (2π/3)/2 = π/3, ce qui coïncide bien avec (AB,AC) = π/3 trouvé en 1.
2

Carré direct : angles orientés et rotation de centre O

● Moyen

ABCD est un carré direct (sommets énumérés dans le sens direct), de centre O.

  1. Donner, en justifiant, la mesure principale de l'angle orienté (AB,AD).
  2. Soit r la rotation de centre O et d'angle π/2 (sens direct). Montrer que r(A)=B, r(B)=C, r(C)=D et r(D)=A.
  3. En déduire les mesures des angles orientés (OA,OB), (OB,OC), (OC,OD) et (OD,OA).
  4. Quelle est l'image de A par r∘r (r appliquée deux fois de suite) ? En déduire la nature de r∘r, puis la mesure de (OA,OC).
  5. En utilisant r, démontrer que les diagonales (AC) et (BD) du carré sont perpendiculaires.
Correction
  1. Plaçons A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) (carré direct). AB=(1,0), AD=(0,1). L'angle mesuré dans le sens direct entre ces deux vecteurs vaut (AB,AD) = π/2 [2π].
  2. O est équidistant des quatre sommets (OA=OB=OC=OD=R) et ceux-ci sont régulièrement répartis sur le cercle circonscrit, séparés d'un quart de tour dans le sens direct puisque ABCD est direct. La rotation r de centre O et d'angle π/2 conserve les distances à O et envoie donc A sur B, B sur C, C sur D, D sur A.
  3. r(A)=B avec r d'angle π/2 donne (OA,OB)=π/2 [2π]. De même (OB,OC)=π/2, (OC,OD)=π/2, (OD,OA)=π/2 [2π] (somme = 4×π/2 = 2π = 0 [2π], cohérent avec Chasles).
  4. (r∘r)(A) = r(r(A)) = r(B) = C. r∘r est une rotation de même centre O et d'angle π/2+π/2 = π (la composée de deux rotations de même centre a pour angle la somme des angles). Comme (r∘r)(A)=C, on a (OA,OC) = π [2π] : A, O, C sont alignés (extrémités d'une diagonale).
  5. Avec les coordonnées précédentes, AC = C−A = (1,1) et BD = D−B = (−1,1). Le produit scalaire AC·BD = −1+1 = 0 : les vecteurs sont orthogonaux, donc (AC,BD) = π/2 [π]. (On retrouve ce résultat sans coordonnées : r, rotation d'angle π/2, envoie la droite (AC) — qui passe par A et C=(r∘r)(A) — sur la droite (BD) — qui passe par B=r(A) et D=r(C) — et une rotation d'angle π/2 transforme toute droite en une droite qui lui est perpendiculaire.)
3

Composition de deux rotations planes

● Difficile

Soit ABC un triangle équilatéral direct de côté 1. On note r₁ la rotation de centre A et d'angle π/3, et r₂ la rotation de centre B et d'angle −π/3.

  1. Rappeler le résultat général sur la nature de la composée r₂∘r₁ de deux rotations planes d'angles respectifs θ₁ et θ₂, selon la valeur de θ₁+θ₂.
  2. Dans le cas présent, montrer que r₂∘r₁ est une translation.
  3. Déterminer le vecteur de cette translation en calculant l'image de A par r₂∘r₁ (on remarquera que A est le centre de r₁).
  4. Application numérique : avec A(0,0), B(1,0) et C(1/2,√3/2), calculer les coordonnées de (r₂∘r₁)(A) et vérifier le résultat de la question 3.
Correction
  1. La composée de deux rotations planes d'angles θ₁ et θ₂ est une rotation d'angle θ₁+θ₂ [2π] si θ₁+θ₂≠0 [2π], et une translation (éventuellement l'identité) si θ₁+θ₂=0 [2π].
  2. θ₁+θ₂ = π/3+(−π/3) = 0 [2π]. D'après le résultat rappelé, r₂∘r₁ est donc une translation.
  3. A est le centre de r₁, donc r₁(A)=A, d'où (r₂∘r₁)(A) = r₂(r₁(A)) = r₂(A). Le vecteur de la translation est t = (r₂∘r₁)(A)−A = r₂(A)−A.
  4. Vecteur BA = A−B = (−1,0), de norme 1 et d'angle π (par rapport à l'axe des abscisses). r₂ tourne ce vecteur de −π/3 autour de B : le vecteur BA' image a pour angle π−π/3 = 2π/3 et pour norme 1, donc BA' = (cos(2π/3), sin(2π/3)) = (−1/2, √3/2). D'où A' = B+BA' = (1−1/2, 0+√3/2) = (1/2, √3/2) = C. Le vecteur de translation est donc t = A'−A = C−A = (1/2, √3/2), c'est-à-dire le vecteur AC : la composée envoie A sur C.
4

Angle dièdre d'un tétraèdre régulier

● Difficile

ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a. On s'intéresse à l'angle dièdre le long de l'arête [AB], c'est-à-dire à l'angle entre les demi-plans contenant respectivement C et D, de frontière commune la droite (AB). On note I le milieu de [AB].

  1. Justifier que la droite (CI) est incluse dans le plan (ABC) et perpendiculaire à (AB), et que de même (DI) est incluse dans (ABD) et perpendiculaire à (AB).
  2. En déduire que l'angle dièdre cherché est égal à l'angle géométrique ∠CID.
  3. Sachant que CI=DI=a√3/2 (hauteur d'un triangle équilatéral de côté a) et CD=a, calculer cos(∠CID) à l'aide de la formule d'Al-Kashi dans le triangle CID.
  4. En déduire la mesure exacte, puis une valeur approchée en degrés, de l'angle dièdre le long de [AB].
Correction
  1. ABC est équilatéral de côté a et I est le milieu de [AB] ; CI est donc la médiane issue de C, qui coïncide avec la hauteur dans un triangle équilatéral : CI⊥AB, avec CI⊂(ABC). De même, dans le triangle équilatéral ABD, DI⊥AB avec DI⊂(ABD).
  2. Par définition, l'angle dièdre d'arête (AB) se mesure par l'angle entre deux demi-droites perpendiculaires à (AB) en un même point de (AB), l'une dans chaque demi-plan : c'est exactement le cas de [IC) et [ID) en I. L'angle dièdre vaut donc ∠CID.
  3. Al-Kashi dans le triangle CID : CD² = CI²+DI²−2·CI·DI·cos(∠CID). D'où a² = 3a²/4+3a²/4−2×(3a²/4)×cos(∠CID) = (3a²/2)(1−cos∠CID). On obtient 1−cos∠CID = a²/(3a²/2) = 2/3, donc cos∠CID = 1/3.
  4. L'angle dièdre le long de chaque arête d'un tétraèdre régulier vaut arccos(1/3) ≈ 70,53°.
5

Angle de deux droites dans l'espace — le cube

● Difficile

ABCDEFGH est un cube d'arête a (ABCD face inférieure, EFGH face supérieure, avec E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H au-dessus de D). On munit l'espace du repère orthonormé (A ; AB, AD, AE).

  1. Donner les coordonnées de tous les sommets du cube dans ce repère.
  2. Donner un vecteur directeur de la « grande diagonale » (AG) et un vecteur directeur de l'arête (BC).
  3. Calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs directeurs, puis leurs normes, et en déduire le cosinus de l'angle géométrique (non orienté) entre les droites (AG) et (BC).
  4. Même question pour l'angle entre la diagonale (AG) et la diagonale de face (BD). Que peut-on en conclure ?
Correction
  1. A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), E(0,0,a), F(a,0,a), G(a,a,a), H(0,a,a).
  2. AG = G−A = (a,a,a), de vecteur directeur (1,1,1). BC = C−B = (0,a,0), de vecteur directeur (0,1,0).
  3. Produit scalaire (1,1,1)·(0,1,0) = 1. Normes : |(1,1,1)| = √3, |(0,1,0)| = 1. cos θ = 1/√3 = √3/3, soit θ = arccos(√3/3) ≈ 54,7°.
  4. BD = D−B = (−a,a,0), de vecteur directeur (−1,1,0). Produit scalaire avec (1,1,1) : −1+1+0 = 0. Les droites (AG) et (BD) sont donc orthogonales : l'angle entre elles vaut π/2. La grande diagonale du cube est perpendiculaire à la diagonale de la face opposée à ses extrémités.
1

Cocyclicité par les nombres complexes et pyramide associée

● Difficile

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, C d'affixes respectives z_A=0, z_B=5, z_C=6+3i. On cherche les points D de l'axe des imaginaires purs, d'affixe z_D=id (d réel), tels que A, B, C, D soient cocycliques.

  1. Rappeler le critère de cocyclicité de quatre points à l'aide des arguments : arg[(z_C−z_A)/(z_B−z_A)] = arg[(z_C−z_D)/(z_B−z_D)] [π].
  2. Montrer que ce critère équivaut à dire que le nombre W = [(z_C−z_A)(z_B−z_D)] / [(z_B−z_A)(z_C−z_D)] est réel, puis calculer d (on trouvera deux valeurs, dont une à exclure).
  3. Déterminer le centre H et le rayon R du cercle circonscrit à A, B, C, D.
  4. On construit une pyramide SABC de sommet S se projetant orthogonalement en H, de hauteur SH=R. Calculer l'angle dièdre entre la face (SAB) et le plan de base (ABC), le long de l'arête [AB].
Correction
  1. C'est le critère rappelé en cours (angles inscrits interceptant le même segment AB, vus depuis C et D).
  2. W réel ⟺ Im(W)=0. Avec z_C−z_A=6+3i, z_B−z_D=5−id, z_B−z_A=5, z_C−z_D=6+(3−d)i, un calcul donne, après réduction au même dénominateur réel positif, la condition 15d²−75d=0, soit d(d−5)=0. d=0 correspond à D=A (exclu, points confondus), donc d=5 : D a pour affixe 5i, soit D(0,5).
  3. Le cercle passant par A(0,0), B(5,0), C(6,3) a pour équation x²+y²−5x−5y=0, soit (x−2,5)²+(y−2,5)²=12,5. Donc H(2,5 ; 2,5) et R=√12,5=5√2/2. On vérifie que D(0,5) appartient bien à ce cercle : (0−2,5)²+(5−2,5)²=6,25+6,25=12,5=R² ✓.
  4. Soit K le pied de la perpendiculaire abaissée de H sur (AB) (l'axe des abscisses) : K(2,5 ; 0), et HK=2,5. Comme S se projette en H, on a SH⊥(ABC), donc SH⊥AB ; comme aussi HK⊥AB, la droite (AB) est perpendiculaire au plan (SHK), donc SK⊥AB. Les demi-droites [KH) et [KS) sont donc chacune perpendiculaires à (AB), respectivement dans le plan de base et dans la face (SAB) : l'angle dièdre cherché est l'angle géométrique ∠SKH. Dans le triangle SHK, rectangle en H : tan(∠SKH) = SH/HK = (5√2/2)/(2,5) = √2. L'angle dièdre vaut donc arctan(√2) ≈ 54,7° (soit encore arccos(1/√3), car tan θ=√2 ⟺ cos θ=1/√3).
2

Hexagone régulier direct et pyramide hexagonale

● Difficile

ABCDEF est un hexagone régulier direct de centre O et de côté a=1 (sommets énumérés dans le sens direct).

  1. Justifier que la rotation r de centre O et d'angle π/3 vérifie r(A)=B, r(B)=C, r(C)=D, r(D)=E, r(E)=F, r(F)=A. En déduire la mesure de l'angle orienté (OA,OB).
  2. Montrer que le triangle OAB est équilatéral, et retrouver ainsi que le rayon du cercle circonscrit à l'hexagone est égal à son côté a.
  3. On construit la pyramide régulière SABCDEF de hauteur SO=h=√3/2 (S se projette orthogonalement en O). Soit M le milieu de [AB]. Justifier que (OM)⊥(AB) et calculer OM.
  4. Calculer l'angle dièdre entre la face latérale (SAB) et le plan de base, le long de l'arête [AB].
Correction
  1. Les six sommets d'un hexagone régulier direct sont régulièrement répartis sur le cercle circonscrit, séparés de 2π/6=π/3 dans le sens direct. La rotation r de centre O et d'angle π/3 conserve les distances à O et envoie donc chaque sommet sur le suivant. En particulier r(A)=B, donc (OA,OB)=π/3 [2π].
  2. Dans le triangle OAB, OA=OB=R (rayon du cercle circonscrit) et l'angle en O vaut π/3 : le triangle OAB est isocèle en O avec un angle au sommet de π/3, donc ses angles à la base valent chacun (π−π/3)/2=π/3 : le triangle OAB est donc équilatéral, et AB=OA=OB=R. Comme AB=a (côté de l'hexagone), on a bien R=a.
  3. OAB est équilatéral de côté a=1 ; M, milieu de [AB], est le pied de la médiane issue de O, laquelle est aussi hauteur dans un triangle équilatéral : (OM)⊥(AB), et OM = a√3/2 = √3/2 (hauteur d'un triangle équilatéral de côté a=1).
  4. SM est dans le plan (SAB) et, ABS étant isocèle en S (SA=SB), (SM)⊥(AB) également. L'angle dièdre le long de [AB] est donc l'angle géométrique ∠SMO. Dans le triangle SMO, rectangle en O : tan(∠SMO) = SO/OM = (√3/2)/(√3/2) = 1, donc ∠SMO = π/4 = 45°.
3

Pyramide à base carrée : arête latérale et faces opposées

● Difficile

SABCD est une pyramide régulière de sommet S et de base le carré ABCD de centre O et de côté 2, avec SO=√2 (S se projette orthogonalement en O). On munit l'espace du repère orthonormé (O ; i, j, k) tel que A(−1,−1,0), B(1,−1,0), C(1,1,0), D(−1,1,0), S(0,0,√2).

  1. Vérifier que ABCD est bien un carré de côté 2 et que O en est le centre.
  2. Calculer l'angle géométrique entre l'arête latérale (SA) et le plan de base (ABC) (on pourra utiliser le triangle rectangle SOA).
  3. Calculer le produit scalaire SA·SC. Que peut-on en conclure pour l'angle (SA,SC) au sommet S ?
  4. Calculer un vecteur normal à chacun des plans (SAB) et (SCD) (faces latérales opposées), puis en déduire une mesure de l'angle géométrique entre ces deux plans.
Correction
  1. AB = B−A = (2,0,0), donc AB=2. De même BC=CD=DA=2, et les angles sont droits (AB·BC=0), donc ABCD est un carré de côté 2. Son centre est le milieu des diagonales, soit ((−1+1)/2,(−1+1)/2,0)=(0,0,0)=O.
  2. OA = A−O = (−1,−1,0), de norme √2 ; SO=√2. Dans le triangle SOA, rectangle en O (SO⊥plan de base donc SO⊥OA), tan(∠SAO) = SO/OA = √2/√2 = 1, donc ∠SAO = π/4 = 45° : c'est l'angle entre (SA) et le plan de base.
  3. SA = A−S = (−1,−1,−√2), SC = C−S = (1,1,−√2). SA·SC = −1−1+2 = 0. Les vecteurs SA et SC sont orthogonaux : l'angle (SA,SC) au sommet S est droit (π/2).
  4. Plan (SAB) : avec AB=(2,0,0) et AS=(1,1,√2), un vecteur normal est n₁ = AB×AS = (0,−2√2,2). Plan (SCD) : avec DC=(2,0,0) et DS=(1,−1,√2), un vecteur normal est n₂ = DC×DS = (0,−2√2,−2). cos(n₁,n₂) = (n₁·n₂)/(|n₁||n₂|) = (0+8−4)/(√12×√12) = 4/12 = 1/3. L'angle géométrique entre les plans (SAB) et (SCD) vaut donc arccos(1/3) ≈ 70,5°.
4

Cercle capable et cône de révolution

● Difficile

Dans un repère orthonormé du plan, on considère A(−3,0) et B(3,0). Soit (Γ) l'ensemble des points M du plan tels que l'angle géométrique ∠AMB=π/3.

  1. D'après le cours, quelle est la nature de (Γ) ? En utilisant la formule R=AB/(2sinα), calculer le rayon des arcs formant (Γ), puis les coordonnées du centre de l'arc situé dans le demi-plan y≥0.
  2. Vérifier que M₀(0,3√3) appartient à (Γ) (on calculera par exemple ∠AM₀B à l'aide du produit scalaire des vecteurs M₀A et M₀B).
  3. Montrer que le triangle AM₀B est équilatéral, et en déduire la mesure de l'angle ∠M₀AB.
  4. On fait tourner la demi-droite [AM₀) d'un tour complet autour de la droite (AB), qui joue le rôle d'axe. On obtient un cône de révolution (D) de sommet A. Donner le demi-angle au sommet de (D). Que devient la section de (D) par un plan perpendiculaire à l'axe (AB) ? Par un plan parallèle à une génératrice mais ne passant pas par A ?
Correction
  1. (Γ) est le cercle capable de [AB] sous l'angle π/3 (deux arcs symétriques par rapport à (AB), cf. cours). R = AB/(2sin(π/3)) = 6/(2×(√3/2)) = 6/√3 = 2√3. Le centre de l'arc supérieur est sur la médiatrice de [AB] (l'axe des ordonnées), à distance R cos(π/3) = 2√3×1/2 = √3 de O : centre (0,√3).
  2. M₀A = A−M₀ = (−3,−3√3), M₀B = B−M₀ = (3,−3√3). M₀A·M₀B = −9+27 = 18. |M₀A| = |M₀B| = √(9+27) = 6. cos(∠AM₀B) = 18/(6×6) = 1/2, donc ∠AM₀B = π/3 : M₀ appartient bien à (Γ).
  3. AM₀ = √(9+27) = 6 = AB = BM₀ = 6 : les trois côtés sont égaux, donc AM₀B est équilatéral. Son angle en A vaut donc π/3 : ∠M₀AB = π/3.
  4. Le demi-angle au sommet du cône (D) est l'angle entre sa génératrice [AM₀) et son axe (AB), soit ∠M₀AB = π/3. Une section par un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle. Une section par un plan parallèle à une génératrice (ne passant pas par le sommet) est une parabole (cf. cours sur les sections planes d'un cône).
5

Octaèdre régulier : angles et symétrie

● Difficile

Un octaèdre régulier ABCDEF est formé de deux pyramides à base carrée BCDE accolées par leur base commune (le carré BCDE, de centre O et de côté 2), de sommets A et F situés sur l'axe perpendiculaire à ce carré passant par O, avec OA=OF=√2. On munit l'espace du repère orthonormé (O ; i, j, k) tel que B(√2,0,0), C(0,√2,0), D(−√2,0,0), E(0,−√2,0), A(0,0,√2), F(0,0,−√2).

  1. Calculer les longueurs AB, BC et FB, et vérifier qu'elles sont toutes égales à 2 (l'octaèdre est bien régulier, d'arête 2).
  2. Calculer un vecteur normal n₁ au plan (ABC) et un vecteur normal n₂ au plan (FBC) (deux faces adjacentes, partageant l'arête [BC]).
  3. En déduire l'angle dièdre entre les faces (ABC) et (FBC).
  4. Comparer ce résultat à l'angle dièdre du tétraèdre régulier trouvé dans un exercice précédent (arccos(1/3)). Que remarque-t-on ?
  5. Le carré BCDE, vu depuis A (c'est-à-dire vu de dessus), est-il parcouru dans le sens direct ou indirect ? Justifier à l'aide du signe de l'angle orienté (OB,OC).
Correction
  1. AB² = (√2)²+0+(√2)² = 2+2 = 4, donc AB=2. BC² = (√2)²+(√2)²+0 = 4, donc BC=2. Par symétrie (F est le symétrique de A par rapport au plan du carré), FB=AB=2. Toutes les arêtes valent bien 2.
  2. Dans (ABC) : AB=(√2,0,−√2), AC=(0,√2,−√2). n₁ = AB×AC = (2,2,2). Dans (FBC) : FB=(√2,0,√2), FC=(0,√2,√2). n₂ = FB×FC = (−2,−2,2).
  3. n₁·n₂ = −4−4+4 = −4. |n₁|=|n₂|=√(4+4+4)=√12. cos(n₁,n₂) = −4/12 = −1/3. L'angle dièdre entre les faces (ABC) et (FBC) vaut donc arccos(−1/3) ≈ 109,47°.
  4. arccos(−1/3) et arccos(1/3) sont supplémentaires : arccos(−1/3) = π−arccos(1/3), car cos(π−x)=−cos(x). L'angle dièdre de l'octaèdre régulier est donc le supplément de celui du tétraèdre régulier.
  5. Vu depuis les z positifs (donc depuis A, en regardant vers O), OB=(1,0) et OC=(0,1) dans le plan (les coordonnées x,y). L'angle orienté (OB,OC) vaut +π/2 (sens direct, trigonométrique) : le carré BCDE est donc parcouru dans le sens direct lorsqu'on l'observe depuis A.