(x,y)→(x,y/2). Cercle : x²+y²=9. Image : x²+(2Y)²=9 → x²+4Y²=9. Ellipse demi-axes 3 et 3/2.

k₁k₂=−2≠1 → homothétie de rapport −2. Centre: C=A+k₁(B−A)/(1−k₁k₂)=(0,0)+2·(3,0)/(1+2)=(2,0). h₂∘h₁ = h(C(2,0),−2).

(1) z=t réel. f(t)=(1+i)t+2=t+2+ti → X=t+2, Y=t → Y=X−2. Image: droite y=x−2. (2) |z|=1 → |f(z)−2|=|(1+i)z|=√2|z|=√2. Image: cercle centre 2, rayon √2.

f(z)=iz. Si |z−2|=2, alors |iz−2i|=2. Lieu de M'=iz : |M'−2i|=2. Cercle de centre (0,2) et rayon 2.

(1) z_k=Re^(2ikπ/5) pour k=0,...,4 ✓. (2) r(z_k)=e^(2iπ/5)·z_k=z_{k+1 mod 5} ✓. (3) La similitude s:z_{k}→z_{k+1} est z'=e^(2iπ/5)z. Centre=0 (origine). C'est la rotation de centre O d'angle 2π/5.

Point invariant : z₀ = −z₀ + 6i → 2z₀ = 6i → z₀ = 3i. Le coefficient de z est −1 = e^(iπ), rapport 1, angle π : f est une homothétie de rapport −1, c'est-à-dire la symétrie centrale de centre Ω(0 ; 3).

Point invariant : z₀ = 2z₀ − 4 → z₀ = 4. Le coefficient 2 est réel positif ≠ 1 : f est l'homothétie de centre Ω(4 ; 0) et de rapport 2.

|i| = 1 donc f est une isométrie directe (rotation ou translation) ; comme i ≠ 1, c'est une rotation d'angle π/2 (argument de i). Centre : z₀ = iz₀ + 2 − i → z₀(1−i) = 2−i → z₀ = (2−i)/(1−i) = (2−i)(1+i)/2 = (3+i)/2. Ω(3/2 ; 1/2).

s_A(z) = 2a − z avec a = 1+2i ; s_B(z') = 2b − z' avec b = 4−i. s_B∘s_A(z) = 2b − (2a−z) = z + 2(b−a). b−a = 3−3i, donc 2(b−a) = 6−6i. s_B∘s_A est la translation de vecteur (6 ; −6) (règle générale : composée de deux symétries centrales = translation de vecteur 2AB).

1+i√3 = 2(cos(π/3)+i sin(π/3)) = 2e^(iπ/3). Rapport k=2, angle π/3. f(0)=0 donc centre O. Image de M(2 ; 0) : f(2) = 2(1+i√3) = 2+2i√3, soit le point (2 ; 2√3).

1. z₀=3z₀−4−2i → −2z₀=−4−2i → z₀=2+i. Ω(2 ; 1).
2. Droite passant par Ω : z=Ω+tu (t réel, u affixe de la direction). f(z)=3Ω+3tu−4−2i=Ω+3tu (car 3Ω−4−2i=Ω). C'est encore un point de la même droite (paramètre 3t) : la droite est globalement invariante.
3. D passe par (0;1), direction (1;1). Pour z=x+i(x+1) : f(z)=3x−4+i(3x+1). X=3x−4, Y=3x+1 → Y=X+5 : image = droite y=x+5, parallèle à D mais distincte (D ne passe pas par Ω : 1≠2+1). Non invariante.
4. La droite parallèle à D passant par Ω(2;1) : y−1=x−2 → y=x−1. Elle passe par Ω donc, d'après (2), est globalement invariante.

r₁(z)=e^(iπ/3)z. r₂(z')=e^(−iπ/3)(z'−2)+2. r₂∘r₁(z)=e^(−iπ/3)e^(iπ/3)z+2−2e^(−iπ/3)=z+2(1−e^(−iπ/3)). e^(−iπ/3)=1/2−i√3/2. 1−e^(−iπ/3)=1/2+i√3/2. 2× = 1+i√3. Translation de vecteur (1 ; √3) (résultat cohérent avec la règle générale : composée de deux rotations d'angles opposés = translation).

1. f fait intervenir le conjugué : c'est une application affine indirecte ; le coefficient devant z̄ est −1, de module 1, donc f est une isométrie indirecte.
2. z=x+iy invariant : x+iy = −(x−iy)+4 = −x+4+iy → partie réelle : x=−x+4 → x=2 (partie imaginaire automatiquement vérifiée, y quelconque). L'ensemble des points invariants est la droite verticale Δ : x=2. Une isométrie indirecte ayant une droite entière de points fixes est une réflexion (symétrie orthogonale) d'axe Δ.
3. Δ' : y=1 (perpendiculaire à Δ). f(x+i)=−(x−i)+4=−x+4+i. Quand x décrit ℝ, −x+4 décrit aussi ℝ : l'image est encore la droite y=1. Δ' est globalement invariante (chaque point est envoyé sur son symétrique par rapport à Δ, situé sur la même horizontale) : conforme à la propriété générale — toute droite perpendiculaire à l'axe d'une réflexion est globalement invariante.

f est une similitude directe : f(z)=az+b avec |a|=2. f(O)=O → b=0. f(I)=a·1=a=J=2i. Comme |2i|=2, cohérent avec |a|=2. f(z) = 2i·z : c'est la similitude de centre O, rapport 2, angle π/2 (ici une rotation-homothétie directe).

1. z=x+iy invariant : x+iy = i(x−iy)+1 = (y+1)+ix. Partie réelle : x=y+1. Partie imaginaire : y=x. En combinant : x=x+1 → 0=1, impossible. Aucun point invariant.
2. f∘f(z)=i·conj(f(z))+1 = i·conj(iz̄+1)+1 = i·(−iz+1)+1 = z+i+1. f∘f est la translation de vecteur (1 ; 1). Une isométrie indirecte sans point fixe dont le carré est une translation non nulle est une symétrie glissée, de vecteur de glissement la moitié du vecteur trouvé : (1/2 ; 1/2).
3. On cherche M tel que f(M)−M soit colinéaire à (1;1), c'est-à-dire de partie réelle égale à sa partie imaginaire. f(z)−z = (y+1−x)+i(x−y). Condition Re=Im : y+1−x = x−y → 2y+1=2x → x=y+1/2. Axe Δ : y = x − 1/2.

1. s(z) = 2e^(iπ/3)z = (1+i√3)z.
2. h(z) = (1/2)(z−4)+4 = z/2 + 2.
3. f(z)=h(s(z)) = (1/2)(1+i√3)z + 2 = e^(iπ/3)z + 2 (puisque (1+i√3)/2 = e^(iπ/3), de module 1). f n'est donc pas une similitude de rapport quelconque mais une rotation d'angle π/3 (rapport 2 × rapport 1/2 = 1) : les rapports se compensent exactement — résultat plus riche que prévu.
4. Point invariant : z₀=e^(iπ/3)z₀+2 → z₀(1−e^(iπ/3))=2 → z₀=2/(1−e^(iπ/3)). Or 1−e^(iπ/3)=1/2−i√3/2=e^(−iπ/3), donc z₀=2e^(iπ/3)=1+i√3. Ω(1 ; √3).
5. f est une rotation : l'image d'un cercle de rayon 3 est un cercle de même rayon 3, de centre f(O)=2. Cercle de centre (2 ; 0) et de rayon 3.

1. f_m(z)=(1+im)z est de la forme az avec a=1+im≠0, donc similitude directe de centre O (f_m(0)=0). k(m)=|1+im|=√(1+m²), θ(m)=arg(1+im)=arctan(m).
2. M'_m d'affixe (1+im)·1=1+im, soit le point (1 ; m). Quand m décrit ℝ, ce point décrit la droite verticale d'équation x=1.
3. Homothétie ⇔ θ(m)=0 ou π ⇔ 1+im réel ⇔ m=0 (la partie réelle vaut toujours 1>0, donc θ=π est impossible). m=0 donne f₀(z)=z, l'identité. Isométrie ⇔ k(m)=1 ⇔ 1+m²=1 ⇔ m=0. Seul m=0 convient dans les deux cas (application triviale, l'identité).
4. D'après (2), l'image de A a toujours pour partie réelle 1 ; or 2+2i a une partie réelle égale à 2≠1. Aucune valeur de m ne convient.

1. f(x;y)=p(s(x;y))=p(−y;x)=(−y;0). g(x;y)=s(p(x;y))=s(x;0)=(0;x).
2. f envoie tout le plan sur l'axe (Ox) : deux points de même ordonnée y (quelle que soit leur abscisse x) ont la même image (−y;0) — f n'est pas injective, donc pas bijective (de même pour g, qui envoie le plan sur (Oy)). Une projection composée avec une isométrie reste une application non bijective.
3. Pour (x;y) sur le cercle x²+y²=R², y décrit [−R;R] ; l'image (−y;0) décrit donc le segment [−R;R] de l'axe (Ox) — et non un cercle.
4. Pour (2;y) avec y∈ℝ, f(2;y)=(−y;0) ; quand y décrit ℝ, l'image décrit tout l'axe (Ox).
5. f∘g(x;y)=f(0;x)=(−x;0). g∘f(x;y)=g(−y;0)=(0;−y). Ces deux applications sont différentes (l'une agit sur (Ox), l'autre sur (Oy)) : f et g ne commutent pas.

1. s(z)=αz+β. s(0)=β=4 (affixe de B). s(4)=4α+4=4+4i (affixe de C) → 4α=4i → α=i. s(z)=iz+4. |α|=1 : s est une rotation d'angle π/2.
2. z₀=iz₀+4 → z₀(1−i)=4 → z₀=4/(1−i)=4(1+i)/2=2+2i. Ω(2 ; 2).
3. D=s(C)=i(4+4i)+4=4i−4+4=4i, soit D(0;4). A(0;0), B(4;0), C(4;4), D(0;4) : côtés de longueur 4, angles droits (rotation d'angle π/2 entre deux côtés consécutifs) : ABCD est un carré de côté 4.
4. s(D)=s(4i)=i·4i+4=−4+4=0=affixe de A. ✓ La rotation s permute cycliquement A→B→C→D→A, sommets du carré, autour de son centre Ω(2;2) (qui est bien le centre du carré).
5. s∘s∘s∘s = rotation d'angle 4×π/2=2π = l'identité. En effet, s⁴ ramène chaque sommet à lui-même après un tour complet, ce qui est cohérent avec le cycle A→B→C→D→A observé.

1. g(x;y)=h(s(x;y))=h(−x;y)=(−3x;3y).
2. g est linéaire ; l'image de tout vecteur (a;b) a une longueur multipliée par 3 dans les deux directions (|−3|=|3|=3), donc g multiplie toutes les distances par 3 — construite comme composée d'une réflexion (indirecte) et d'une homothétie, g est une similitude indirecte de rapport 3.
3. Soit (X;Y)=g(x;y) : X=−3x, Y=3y, donc x=−X/3, y=Y/3. En reportant dans y=x² : Y/3=(−X/3)²=X²/9, soit (P') : y = x²/3.
4. Points communs : x²=x²/3 → (2/3)x²=0 → x=0, y=0. Seul point commun : O(0;0).
5. Point invariant : −3x=x → x=0 ; 3y=y → y=0. Seul point invariant : O(0;0) (cohérent avec le fait qu'une similitude indirecte de rapport ≠1 admet un unique point fixe).