Parabole de foyer F et directrice d : lieu des points M tels que MF=d(M,d).
Équation canonique (foyer sur Ox) : y²=4px avec p>0. Foyer F(p,0), directrice x=−p.
Paramétrage : x=pt², y=2pt. Tangente en (pt₀²,2pt₀) : y=x/t₀+pt₀.
Ellipse de foyers F₁ et F₂ et de demi-grand axe a : lieu des M tels que MF₁+MF₂=2a.
Équation : x²/a²+y²/b²=1 avec b²=a²−c², c=demi-distance focale (F₁F₂=2c), a>b>0.
Excentricité e=c/a<1. Demi-axes a (horizontal) et b (vertical).
Paramétrage : x=a cosθ, y=b sinθ. Tangente en (a cosθ₀, b sinθ₀) : (x cosθ₀)/a+(y sinθ₀)/b=1.
Hyperbole de foyers F₁ et F₂ et de demi-axe réel a : lieu des M tels que |MF₁−MF₂|=2a.
Équation : x²/a²−y²/b²=1 avec b²=c²−a². Asymptotes : y=±(b/a)x.
Excentricité e=c/a>1. Paramétrage : x=a/cosθ ou x=a cosh t, y=b sinh t.
Hyperbole équilatère (a=b) : xy=k (rapportée à ses asymptotes).
Ellipse : tout rayon issu de F₁ réfléchi par l'ellipse passe par F₂.
Parabole : tout rayon parallèle à l'axe, réfléchi, passe par F (principe du miroir parabolique).
Hyperbole : un rayon dirigé vers F₁ est réfléchi comme s'il venait de F₂.
Identifier et donner les paramètres (foyers, excentricité) : (1) 9x²+4y²=36. (2) y²=12x. (3) x²−4y²=4.
(1) x²/4+y²/9=1. a=3, b=2. c=√5. Ellipse, foyers (0,±√5), e=√5/3. (2) y²=12x → 4p=12 → p=3. Parabole, foyer (3,0), dir. x=−3. (3) x²/4−y²=1. a=2, b=1. c=√5. Hyperbole, foyers (±√5,0), e=√5/2, asymptotes y=±x/2.
Ellipse x²/16+y²/9=1. (1) Tangente en M₀(2,3√3/2). (2) Tangentes de pente m=1/2.
(1) (2x)/16+(3√3/2·y)/9=1 → x/8+√3y/6=1. (2) Tangente y=mx+n tangente si n²=a²m²+b²=16/4+9=13. n=±√13. Droites: y=x/2±√13.
Parabole y²=8x. (1) Foyer et directrice. (2) Point A sur la parabole avec t=2. (3) Tangente en A.
(1) 4p=8 → p=2. F(2,0), dir. x=−2. (2) A=(p·4,2p·2)=(8,8). Vérif: 64=8·8 ✓. (3) y=x/t+pt=x/2+4.
Hyperbole x²/4−y²/9=1. (1) Asymptotes. (2) Intersection avec y=3x/2−1. (3) Excentricité.
(1) y=±(3/2)x. (2) x²/4−(3x/2−1)²/9=1. Développer: x²/4−(9x²−12x+4)/36=1 → 9x²−(9x²−12x+4)=36 → 12x−4=36 → x=10/3. y=5−1=4. Point (10/3,4). (3) c²=4+9=13. e=√13/2.
Ellipse x²/25+y²/16=1. (1) Foyers. (2) Vérifier que M(3,16/5) est sur l'ellipse. (3) MF₁+MF₂. (4) Propriété de réflexion : montrer que F₁M et F₂M font des angles égaux avec la tangente en M.
(1) c=√(25−16)=3. F₁(−3,0), F₂(3,0). (2) 9/25+256/25·1/16=9/25+16/25=1 ✓. (3) MF₁+MF₂=2a=10. (4) Tangente en M₀(x₀,y₀) : x₀x/25+y₀y/16=1. Vecteur normal n=(x₀/25,y₀/16). Vecteurs F₁M et F₂M. Vérifier que les angles avec n sont égaux (propriété de l'ellipse). La normale en M bisecte l'angle F₁MF₂.
On étudie l'ellipse (E) : x²/25+y²/9=1 et son rapport avec la parabole (P) : y²=6x.
10 questions · Correction immédiate
Parabole y²=4px : foyer =
Ellipse x²/a²+y²/b²=1, a>b : foyers sur
b² pour l'ellipse =
Excentricité de l'ellipse : e=
Hyperbole x²/4−y²/9=1. Asymptotes =
Tangente en M₀(x₀,y₀) sur x²/a²+y²/b²=1 =
Propriété optique de la parabole : rayon ∥ axe → réfléchi vers
MF₁+MF₂=2a pour l'ellipse : si M sur l'ellipse x²/9+y²/4=1 alors MF₁+MF₂=
y²=4px est une parabole d'axe
Hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes : équation =
Exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SM (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), section « Apprentissage » du chapitre correspondant — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.
(CIAM Ex. 2) Déterminer le sommet, l'axe focal, le foyer et la directrice des paraboles d'équations : a) 2y²+3x=0. b) 3x²−4y+4=0. c) 2y²−4y=x−3. d) x²−2x=−3y−1.
a) y²=−(3/2)x, forme y²=4px avec p=−3/8. Sommet (0,0), axe focal Ox, foyer (−3/8,0), directrice x=3/8.
b) x²=(4/3)(y−1), forme x²=4p(y−1) avec p=1/3. Sommet (0,1), axe focal x=0, foyer (0,4/3), directrice y=2/3.
c) 2(y−1)²=x−1, soit (y−1)²=(x−1)/2, avec p=1/8. Sommet (1,1), axe focal y=1, foyer (9/8,1), directrice x=7/8.
d) (x−1)²=−3y, avec p=−3/4. Sommet (1,0), axe focal x=1, foyer (1,−3/4), directrice y=3/4.
(CIAM Ex. 3) Déterminer le centre, l'axe focal, les sommets et les foyers des ellipses d'équations : a) x²/9+y²/4=1. b) (x−1)²+4(y+2)²=4. c) x²/9+y²/16=1. d) (x+1)²/4+(y−2)²/9=1.
a) a=3, b=2 (a>b, axe focal Ox). Centre (0,0). Sommets (±3,0) et (0,±2). c=√5, foyers (±√5,0).
b) Divisant par 4 : (x−1)²/4+(y+2)²/1=1. a=2, b=1, axe focal horizontal. Centre (1,−2). Sommets (3,−2), (−1,−2), (1,−1), (1,−3). c=√3, foyers (1±√3,−2).
c) Ici 16>9 donc axe focal Oy : a=4, b=3. Centre (0,0). Sommets (0,±4) et (±3,0). c=√7, foyers (0,±√7).
d) 9>4 donc axe focal vertical x=−1 : a=3 (y), b=2 (x). Centre (−1,2). Sommets (−1,5), (−1,−1), (1,2), (−3,2). c=√5, foyers (−1,2±√5).
(CIAM Ex. 4) Déterminer le centre, l'axe focal, les sommets, les foyers et les asymptotes des hyperboles d'équations : a) x²/9−y²/4=1. b) (x−1)²−4(y+2)²=4. c) x²/9−y²/16=1. d) −(x−1)²/4+(y+2)²/9=1.
a) a=3, b=2, c=√13. Centre (0,0). Axe focal Ox. Sommets (±3,0). Foyers (±√13,0). Asymptotes y=±(2/3)x.
b) (x−1)²/4−(y+2)²/1=1. a=2, b=1, c=√5. Centre (1,−2). Axe focal horizontal. Sommets (3,−2), (−1,−2). Foyers (1±√5,−2). Asymptotes y+2=±(1/2)(x−1).
c) a=3, b=4, c=5. Centre (0,0). Axe focal Ox. Sommets (±3,0). Foyers (±5,0). Asymptotes y=±(4/3)x.
d) Réécrite (y+2)²/9−(x−1)²/4=1 : axe focal vertical. a=3 (y), b=2 (x), c=√13. Centre (1,−2). Sommets (1,1), (1,−5). Foyers (1,−2±√13). Asymptotes y+2=±(3/2)(x−1).
(CIAM Ex. 5) Soit (E) l'ellipse d'équation x²/8+y²/4=1. Déterminer une équation de l'hyperbole ayant pour sommets les foyers de (E) et pour foyers les sommets de (E) situés sur l'axe focal.
Pour (E) : a²=8, b²=4, c²=a²−b²=4, c=2. Foyers de (E) : (±2,0). Sommets de (E) sur l'axe focal : (±2√2,0).
L'hyperbole cherchée a pour sommets (±2,0) (donc a'=2) et pour foyers (±2√2,0) (donc c'=2√2). D'où b'²=c'²−a'²=8−4=4.
Équation : x²/4−y²/4=1.
(CIAM Ex. 6) Soit (H) l'hyperbole d'équation x²/8−y²/4=1. Déterminer une équation de l'ellipse ayant pour foyers les sommets de (H) et pour excentricité 1/√3.
Pour (H) : a²=8, b²=4, c²=a²+b²=12, c=2√3. Sommets de (H) : (±2√2,0), donc l'ellipse cherchée a pour foyers (±2√2,0), soit c'=2√2.
e'=c'/a'=1/√3 ⟹ a'=c'√3=2√2×√3=2√6, a'²=24. b'²=a'²−c'²=24−8=16.
Équation : x²/24+y²/16=1.
Exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SM (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), sections « Équation d'une conique » et « Représentations paramétriques d'une conique » du chapitre correspondant — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.
(CIAM Ex. 7) Soit (P) la parabole d'équation y²−4x+2y+9=0.
(CIAM Ex. 10) Démontrer que le système x=cos(θ+π/3), y=2cos(θ−π/6), θ∈R, est une représentation paramétrique d'une conique dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.
Posons φ=θ+π/3. Alors θ−π/6=φ−π/2, donc y=2cos(φ−π/2)=2sinφ, et x=cosφ. D'où x²+(y/2)²=cos²φ+sin²φ=1, soit x²/1+y²/4=1 : une ellipse.
a=2 (axe focal Oy, car 4>1), b=1. c²=a²−b²=3, c=√3. Foyers (0,±√3). e=c/a=√3/2. Sommets (0,±2) et (±1,0).
(CIAM Ex. 11) Démontrer que le système x=cos2θ, y=sinθ, θ∈R, est une représentation paramétrique d'une partie de parabole que l'on précisera.
cos2θ=1−2sin²θ=1−2y², donc x=1−2y², soit y²=(1−x)/2, équation d'une parabole (y+1)²... plus simplement y²=−(1/2)(x−1) : sommet (1,0), axe focal horizontal y=0, p=−1/8, foyer (7/8,0), directrice x=9/8, ouverte vers les x négatifs.
Comme y=sinθ∈[−1,1], seule la portion vérifiant −1≤y≤1 (soit −1≤x≤1) est décrite : c'est l'arc de la parabole compris entre les points (−1,−1) et (−1,1), passant par le sommet (1,0).
(CIAM Ex. 13) Soit (Γ) l'ensemble des points M dont les coordonnées (x;y) vérifient x=2eᵗ+e⁻ᵗ, y=2eᵗ−e⁻ᵗ (t∈R). Démontrer que (Γ) est une partie d'hyperbole que l'on précisera.
x+y=4eᵗ et x−y=2e⁻ᵗ, donc (x+y)(x−y)=8, soit x²−y²=8 : (Γ) est incluse dans l'hyperbole équilatère x²/8−y²/8=1 (a=b=2√2, c=4, e=√2, asymptotes y=±x, foyers (±4,0)).
Posons u=eᵗ>0 : x=2u+1/u≥2√2 (inégalité arithmético-géométrique, égalité en u=1/√2). Ainsi x décrit [2√2,+∞[, avec y→−∞ quand u→0⁺ et y→+∞ quand u→+∞, en passant continûment par le sommet (2√2,0) obtenu pour u=1/√2 : (Γ) est exactement la branche droite entière de l'hyperbole.
(CIAM Ex. 8) Soit (Γ) l'ensemble des points M(x;y) tels que y⁴−9=9x⁴−18x². Démontrer que (Γ) est la réunion de deux coniques dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.
y⁴−9x⁴+18x²−9=0 ⟺ y⁴−9(x⁴−2x²+1)=0 ⟺ y⁴−9(x²−1)²=0 ⟺ [y²−3(x²−1)][y²+3(x²−1)]=0.
• y²−3x²+3=0 ⟺ x²−y²/3=1 : hyperbole, a=1, b=√3, c=2, e=2, foyers (±2,0), asymptotes y=±√3x.
• y²+3x²−3=0 ⟺ x²+y²/3=1 : ellipse, a=√3 (axe Oy), b=1, c=√2, foyers (0,±√2), e=√6/3.
(Γ) est la réunion de cette hyperbole et de cette ellipse.
Exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SM (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), sections « Définition bifocale des coniques à centre » et « Coniques et lieux géométriques » du chapitre correspondant — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.
(CIAM Ex. 14) Soit F et F' deux points tels que FF'=3. Déterminer, dans un repère convenablement choisi, une équation réduite de l'ensemble des points M tels que : a) MF+MF'=5 ; b) |MF−MF'|=2.
Choisissons le repère d'origine le milieu de [FF'], d'axe (Ox) porté par (FF'). Alors F(−3/2,0), F'(3/2,0), donc c=3/2.
a) MF+MF'=5=2a ⟹ a=5/2. b²=a²−c²=25/4−9/4=4. Ellipse : x²/(25/4)+y²/4=1.
b) |MF−MF'|=2=2a ⟹ a=1. b²=c²−a²=9/4−1=5/4. Hyperbole : x²−4y²/5=1.
(CIAM Ex. 9, extraits a et b) Dans chacun des cas suivants, déterminer et décrire l'ensemble (Γ) des points M(x;y) tels que : a) 4x²+y|y|=9 ; b) 25x|x|+16y²=64.
a) Si y≥0 : y|y|=y², donc 4x²+y²=9, soit x²/(9/4)+y²/9=1 : moitié supérieure (y≥0) d'une ellipse (a=3 sur Oy, b=3/2 sur Ox). Si y<0 : y|y|=−y², donc 4x²−y²=9, soit x²/(9/4)−y²/9=1 : moitiés inférieures (y<0) des deux branches d'une hyperbole de mêmes sommets (±3/2,0). (Γ) est le recollement continu de ces arcs le long des points (±3/2,0).
b) Si x≥0 : x|x|=x², donc 25x²+16y²=64, soit x²/(64/25)+y²/4=1 : moitié droite (x≥0) d'une ellipse (a=2 sur Oy, b=8/5 sur Ox). Si x<0 : x|x|=−x², donc 16y²−25x²=64, soit y²/4−x²/(64/25)=1 : moitiés gauches (x<0) des deux branches d'une hyperbole. Recollement continu aux points (0,±2).
(CIAM Ex. 18) Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R, F un point intérieur à (C) et distinct de O. Démontrer que le lieu des points M, centres des cercles passant par F et tangents à (C), est une ellipse dont on précisera les foyers.
Soit (Γ) le cercle de centre M passant par F : son rayon est r=MF. F étant intérieur à (C), (Γ) est tangent intérieurement à (C), d'où OM=R−r, soit OM+MF=R (constante).
Comme F est intérieur à (C), on a OF<R, donc cette somme constante R est bien supérieure à OF : c'est la définition bifocale d'une ellipse de foyers O et F, avec 2a=R.
Le lieu est donc l'ellipse de foyers O et F, de demi-grand axe a=R/2, de demi-distance focale c=OF/2, et b²=a²−c².
(CIAM Ex. 19) Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R, F un point extérieur à (C). Démontrer que le lieu des points M, centres des cercles (Γ) passant par F et tangents à (C), est une hyperbole. On distinguera deux cas : (Γ) et (C) tangents extérieurement ; (C) intérieur à (Γ).
Soit r=MF le rayon de (Γ). Cas de tangence extérieure : OM=R+r, soit OM−MF=R. Cas où (C) est intérieur à (Γ) : OM=r−R, soit MF−OM=R.
Dans les deux cas : |OM−MF|=R, constante. Comme F est extérieur à (C), on a OF>R, donc R<OF : c'est la définition bifocale d'une hyperbole de foyers O et F, avec 2a=R.
Le lieu est donc l'hyperbole de foyers O et F, a=R/2, c=OF/2, et b²=c²−a².
(CIAM Ex. 43) Soit (P) la parabole de foyer F et de directrice (D), M un point de (P) et (Tₘ) la tangente en M à (P). Déterminer le lieu du projeté orthogonal de F sur (Tₘ) lorsque M décrit (P).
Prenons (P) : y²=4px (p>0), F(p,0). Point courant M(pt²,2pt), t∈R. La tangente en M a pour équation ty=x+pt², soit x−ty+pt²=0, de vecteur normal (1,−t).
Le projeté orthogonal H de F(p,0) sur (Tₘ) s'écrit H=F+s(1,−t) ; en reportant dans l'équation de la tangente : (p+s)−t(−st)+pt²=0 ⟹ p+s+st²+pt²=0 ⟹ s(1+t²)=−p(1+t²) ⟹ s=−p.
D'où H=(p−p, pt)=(0,pt). Pour tout t, H a pour abscisse 0 : le lieu de H est la droite x=0, c'est-à-dire la tangente à (P) en son sommet.
